Dimostrare che una funzione non è limitata + max min
Ho tale funzione:
$f(x,y) = x y^2 - 3 x^3 + 2y$
devo dimostrare che non è limitata nè superiormene nè inferiormenet.
restringo a $x$
$lim_(x->oo) - 3x^3 = -oo$
$lim_(x->-oo) -3x^3 = +oo$
non è limitata nè superiormente nè inferiormente.
per dimostrare, non mi basta solo lungo $x$? devo restringere anche lungo $y$?
se s', viene la medesima cosa, cioè:
$lim_(x->+oo) 2y = +oo$
$lim_(x->-oo) -3x^3 = -oo$
ricerca di max e min relativi:
$f_x = y^2 - 9 x^2 = 0$
$f_y = 2 xy + 2 = 0$
i punti che escono sono:
$(-sqrt(3)/3 , sqrt(3))$ e $(sqrt(3)/3 , - sqrt(3))$
determino l'hessiano:
$H=((-18 x, 2y),(2y,2y))$
per
$(-sqrt(3)/3 , sqrt(3))$ $ H= - 24$
per
$(sqrt(3)/3 , - sqrt(3))$ $H=-24$
qualcosa non va ovviamente, perchè prima mi chiede di vedere se è limitata superiormente e inferiormente, e vedo che vi sono dei punti di max relativo?
qualcuno può darmi qualche delucidazione a proposito?
grazie!
$f(x,y) = x y^2 - 3 x^3 + 2y$
devo dimostrare che non è limitata nè superiormene nè inferiormenet.
restringo a $x$
$lim_(x->oo) - 3x^3 = -oo$
$lim_(x->-oo) -3x^3 = +oo$
non è limitata nè superiormente nè inferiormente.
per dimostrare, non mi basta solo lungo $x$? devo restringere anche lungo $y$?
se s', viene la medesima cosa, cioè:
$lim_(x->+oo) 2y = +oo$
$lim_(x->-oo) -3x^3 = -oo$
ricerca di max e min relativi:
$f_x = y^2 - 9 x^2 = 0$
$f_y = 2 xy + 2 = 0$
i punti che escono sono:
$(-sqrt(3)/3 , sqrt(3))$ e $(sqrt(3)/3 , - sqrt(3))$
determino l'hessiano:
$H=((-18 x, 2y),(2y,2y))$
per
$(-sqrt(3)/3 , sqrt(3))$ $ H= - 24$
per
$(sqrt(3)/3 , - sqrt(3))$ $H=-24$
qualcosa non va ovviamente, perchè prima mi chiede di vedere se è limitata superiormente e inferiormente, e vedo che vi sono dei punti di max relativo?
qualcuno può darmi qualche delucidazione a proposito?
grazie!
Risposte
up
Ciao!
Forse "non và" qualcosa nella stessa misura nella quale "non và" che,ad esempio,
la $f(x)=x^3-3x:RR to RR$ è illimitata sia sup. che inferiormente,
ma ha un punto di minimo relativo ed uno di massimo relativo:
aggettivo,quest'ultimo,che sottointende come stiamo riferendoci ad un opportuno intorno di $x_0$
(concetto notoriamente generalizzabile agli spazi euclidei ad n dimensioni..),
e non a tutto $domf$!
Saluti dal web.
P.S.
Per verificare eventuali illimitatezze di f non è indispensabile nè sufficiente rifersi agli assi coordinati
(che d'altronde non sempre sono contenuti nel dominio..):
basta(benchè non sia necessario,ma per il momento non esageriamo..)trovare un sottoinsieme di $domf$ nel quale accade quanto tu hai notato a proposito di quei limiti!
Forse "non và" qualcosa nella stessa misura nella quale "non và" che,ad esempio,
la $f(x)=x^3-3x:RR to RR$ è illimitata sia sup. che inferiormente,
ma ha un punto di minimo relativo ed uno di massimo relativo:
aggettivo,quest'ultimo,che sottointende come stiamo riferendoci ad un opportuno intorno di $x_0$
(concetto notoriamente generalizzabile agli spazi euclidei ad n dimensioni..),
e non a tutto $domf$!
Saluti dal web.
P.S.
Per verificare eventuali illimitatezze di f non è indispensabile nè sufficiente rifersi agli assi coordinati
(che d'altronde non sempre sono contenuti nel dominio..):
basta(benchè non sia necessario,ma per il momento non esageriamo..)trovare un sottoinsieme di $domf$ nel quale accade quanto tu hai notato a proposito di quei limiti!
Quindi il metodo di porre $x$ e $y$ all'infinito è un metodo rozzo a quanto pare....
su dei pdf ho notato metodi con le linee di livello, ma solo con curve 'note' e semplici....polinomi come nel mio caso li vedo difficili a risolvere con tale ultimo metodo.
quindi, i miei errori se ho capito bene sono 2:
1) ho esteso erroneamente il dominio della $f(x,y)$ e poi le sue restrizioni a una variabile a tutto $RR$, mentre invece è solo 'una parte di dominio'? Io sapevo che per i polinomi di questo tipo il dominio fosse tutto $RR^2$ e $RR$....
2) i max e min relativi ci sono, ma solo per un sottoinsieme di $dom f$, il quale tale $dom f$ dovrei cercarlo....ma come?
su dei pdf ho notato metodi con le linee di livello, ma solo con curve 'note' e semplici....polinomi come nel mio caso li vedo difficili a risolvere con tale ultimo metodo.
quindi, i miei errori se ho capito bene sono 2:
1) ho esteso erroneamente il dominio della $f(x,y)$ e poi le sue restrizioni a una variabile a tutto $RR$, mentre invece è solo 'una parte di dominio'? Io sapevo che per i polinomi di questo tipo il dominio fosse tutto $RR^2$ e $RR$....
2) i max e min relativi ci sono, ma solo per un sottoinsieme di $dom f$, il quale tale $dom f$ dovrei cercarlo....ma come?
piccolo up
Non ho capito la domanda...
Personalmente la vedo così: una funzione è limitata inferiormente (superiormente) se il valore della funzione non può mai essere più piccolo (grande) di un certo valore finito.
Se la nostra funzione può assumere valori grandi, grandissimi (sia positivi che negativi)...al limite $+oo$ e $-oo$, allora non è limitata. Che poi ci siano massimi e minimi relativi poco me ne cale.
Personalmente la vedo così: una funzione è limitata inferiormente (superiormente) se il valore della funzione non può mai essere più piccolo (grande) di un certo valore finito.
Se la nostra funzione può assumere valori grandi, grandissimi (sia positivi che negativi)...al limite $+oo$ e $-oo$, allora non è limitata. Che poi ci siano massimi e minimi relativi poco me ne cale.
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