Dimostrare che una funzione è una contrazione

[Overflow94]

Sia $ f:RR->RR $ una funzione per la quale valgono le seguenti:
1) $ f(x_o)=x_o $
2) Esiste un intorno di $ x_o $ nel quale $ f $ è differenziabile e vale $ |f'(x)|<1 $ per ogni x appartenente all'intorno.

Dimostrare che esiste un intorno di $ x_o $ nel quale $ f $ è una contrazione, cioè vale $ d(f(x_1),f(x_2))<=kd(x_1,x_2)\ \ \ \ \ con\ \ kin[0,1) $ e che in tale intorno $ f $ trasforma l'intorno in se stesso.

Intuitivamente il fatto che la derivata sia minore in valore assoluto di 1 ci dice che la funzione cresce sotto ( o decresce sopra) una parallela della bisettrice quindi $ f(x_1)-f(x_2)<= x_2+q-x_1-q=x_2-x_1 => d(f(x1),f(x_2))<=d(x_1,x_2) $. A questo punto dalla separabilità di $ RR $ deriva che esiste un $ k=1-epsilon $ tale che in un intorno incluso in quello dato valga $ |f(x)|
Mi servirebbe un aiuto a dimostrare la seconda, cioè che in tale intorno l'immagine è inclusa nel dominio, io avevo pensato di partire da questa $ f(x)=x_o + f'(x_o)(x-x_o)+o(x-x_o) $ che vale per ogni x dell'intorno.

EDIT:
Ah, ok penso di aver trovato una soluzione.
Poiché $ lim _(x->x_0)f(x)=x_o $ possiamo concludere esiste un intorno nel quale vale $ |f(x)-x_o|

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Risposte

kobeilprofeta

11 set 2016, 08:37

$|y_1-y_2|=|f'(x_0)*(x_1-x_2)|$ per lagrange, dove $x_1<=x_0<=x_2$

ora vale la maggiorazione $|f'(x_0)|<1$ essendo x_0 nell'intorno, da cui la tesi

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Overflow94

11 set 2016, 09:03

Giusto, Lagrange era la via corretta grazie.
Anche la seconda parte che ho scritto ieri sera è sbagliata. Che la funzione è una trasformazione dell'intorno si può vedere sempre con Lagrange.
Sia $ I_delta(x_0) $ l'intorno di raggio delta dove vale l'ipotesi allora dal teorema di Lagrange abbiamo $ f(x_0+delta)=x_0 + f'(epsilon)delta $ per un $ epsiloninI_delta(x_o) $ , quindi essendo la derivata minore di uno vediamo che l'immagine di un punto dell'intorno appartiene all'intorno.

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[kobeilprofeta]

$|y_1-y_2|=|f'(x_0)*(x_1-x_2)|$ per lagrange, dove $x_1<=x_0<=x_2$

ora vale la maggiorazione $|f'(x_0)|<1$ essendo x_0 nell'intorno, da cui la tesi

[Overflow94]

Giusto, Lagrange era la via corretta grazie.
Anche la seconda parte che ho scritto ieri sera è sbagliata. Che la funzione è una trasformazione dell'intorno si può vedere sempre con Lagrange.
Sia $ I_delta(x_0) $ l'intorno di raggio delta dove vale l'ipotesi allora dal teorema di Lagrange abbiamo $ f(x_0+delta)=x_0 + f'(epsilon)delta $ per un $ epsiloninI_delta(x_o) $ , quindi essendo la derivata minore di uno vediamo che l'immagine di un punto dell'intorno appartiene all'intorno.