Dimostrare che una funzione è nulla quasi ovunque
Ciao a tutti! Vorrei capire meglio qual è lo spazio di funzioni che deve essere contenuto in $X$ affinché a partire da
\( \int_\mathbb{R} f(t)g(t)dt=0\ \ \ \ \ \ \forall g \in X \)
dove $f \in L^p(\mathbb{R})$, possa concludere che $f$ è nulla quasi ovunque.
Per fare in modo che l'integrale abbia senso cercherei $X\subsetL^{1-\frac{1}{p}}(\mathbb{R})$ .
Se $p$ è pari sicuramente mi basta che $X$ contenga uno spazio di funzioni denso in $L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$ (come ad esempio lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto di $\mathbb{R}$) xke avrei
$f \in L^p(\mathbb{R}) \ \ \ \Rightarrow f^{p-1} \in L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$
e quindi otterrei per densità che
\( \int_I f(t)^p dt=0\ \Rightarrow f=0 \).
Però mi sfugge come dire la stessa cosa per le $p$ dispari e se posso chiedere meno su $X$ rispetto a chiedere che possa approssimare le funzioni di $L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$. Forse la cosa è più semplice di come la sto facendo però in qst momento non mi vengono idee migliori. Grazie a tutti in anticipo!
\( \int_\mathbb{R} f(t)g(t)dt=0\ \ \ \ \ \ \forall g \in X \)
dove $f \in L^p(\mathbb{R})$, possa concludere che $f$ è nulla quasi ovunque.
Per fare in modo che l'integrale abbia senso cercherei $X\subsetL^{1-\frac{1}{p}}(\mathbb{R})$ .
Se $p$ è pari sicuramente mi basta che $X$ contenga uno spazio di funzioni denso in $L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$ (come ad esempio lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto di $\mathbb{R}$) xke avrei
$f \in L^p(\mathbb{R}) \ \ \ \Rightarrow f^{p-1} \in L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$
e quindi otterrei per densità che
\( \int_I f(t)^p dt=0\ \Rightarrow f=0 \).
Però mi sfugge come dire la stessa cosa per le $p$ dispari e se posso chiedere meno su $X$ rispetto a chiedere che possa approssimare le funzioni di $L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$. Forse la cosa è più semplice di come la sto facendo però in qst momento non mi vengono idee migliori. Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Non capisco il discorso di $p$ dispari. Ma $p$ non è un numero reale? (maggiore / maggiore o eguale a uno).
A me pare che $X$ debba essere denso in $L^q$ (e basta!), dove $1/q=1-1/p$ (cioè, come hai scritto tu, $q=\frac{p}{p-1}$).
Infatti se $X$ ha questa proprietà allora usando le funzioni di $X$ puoi approssimare $|f|^{p-2}f$ (che si vede facilmente essere in $L^q$) e dedurne che $\int_{R^N}|f|^pdx=0$. Non dovrebbe essere difficile provare che vale anche il viceversa (dovebbe servire la caratterizzazione del duale di $L^p$) - non ho capito peraltro se ti interessa anche questa seconda parte.
P.S. Forse ho capito il discorso di $p$ pari e dispari. Credo che usare la funzione $|f|^{p-2}f$ in luogo di $f^{p-1}$ risolva il tuo problema.
A me pare che $X$ debba essere denso in $L^q$ (e basta!), dove $1/q=1-1/p$ (cioè, come hai scritto tu, $q=\frac{p}{p-1}$).
Infatti se $X$ ha questa proprietà allora usando le funzioni di $X$ puoi approssimare $|f|^{p-2}f$ (che si vede facilmente essere in $L^q$) e dedurne che $\int_{R^N}|f|^pdx=0$. Non dovrebbe essere difficile provare che vale anche il viceversa (dovebbe servire la caratterizzazione del duale di $L^p$) - non ho capito peraltro se ti interessa anche questa seconda parte.
P.S. Forse ho capito il discorso di $p$ pari e dispari. Credo che usare la funzione $|f|^{p-2}f$ in luogo di $f^{p-1}$ risolva il tuo problema.
si si adesso ho capito tutto! il caso $p$ pari era per avere $f^p \geq 0$ ma effettivamente sbagliavo a immaginare $p$ come numero naturale e non un numero reale. Grazie mille per la risposta sei stato molto chiaro! 
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