Dimostrare che una funzione è invertibile

[boanini]

come si fa a dimostrare che [tex]f(x)=e^x+x-sinx+1,x \in R[/tex] è invertibile?
cioè penso che per essere invertibile una funzione deve essere strettamente monotno, cioè o solo crescente o solo decrescente, e per sapere questo si fa la derivata, ma come si fa a vdere se è crescente o decrescente^?

[Darèios89]

cioè penso che per essere invertibile una funzione deve essere strettamente monotona

Non per forza, c'è un teorema che dice che se una funzione è strettamente monotona, allora essa è invertibile, perchè per definizione di invertibilità la funzione deve essere biettiva, e la monotonia è una garanzia dell'iniettività della funzione.
Ma non è detto che se una funzione è invertibile essa sia monotona.

Quanto all'altra domanda, per studiare la monotonia, calcoli la derivata come hai ben detto e la poni [tex]\geq0[/tex] così saprai in quali intervalli la funzione è crescente, negli altri sarà decrescente.

[boanini]

quindi per dimostrare che quella funzione è invertibile mi devo studiare la derivata maggiore o uguale a zero?

[boanini]

cioè devo studiarmi [tex]e^x+1-cosx \ge 0[/tex] e questa non è sempre vera [tex]\forall x \in R[/tex]?

[Darèios89]

Si esatto è sempre verificata.
Quindi hai che la tua funzione è definita se non sbaglio in [tex]R[/tex]
La funzione sarà sempre crescente.....in tutto il suo dominio.

Quindi?

[boanini]

quindi è invertibile, giusto?

[gugo82]

@boanini: Perchè il titolo del thread non c'entra nulla con l'argomento trattato? Qui mi pare si parli di invertibilità, non di continuità...

[boanini]

chiedo scusa gugo...ho modificato

[gugo82]

Grazie, gentilissimo.

[boanini]

quindi con la derivata ho visto che la funzione è sempre crescente, e quindi essa è invertibile, giusto?
adesso il testo mi dice: detta g l'inversa calcolare g'''(0)
questo vuol dire che devo farmi la derivata terza di [tex]e^x+x-sinx+1[/tex]??che sarebbe [tex]e^x+cosx[/tex] che calcolata in 0 viene 2?

[Darèios89]

quindi con la derivata ho visto che la funzione è sempre crescente, e quindi essa è invertibile, giusto?

Si ma perchè?

Perchè come ti ho detto prima se una funzione è monotona è sicuramente invertibile, noi l'abbiamo trovata monotona in tutto il dominio e quindi sarà invertibile.

Quanto al secondo punto, lo vedo con calma dopo, il testo dovrebbe specificare [tex]g'''(0)[/tex] rispetto ad x o y.

[boanini]

che vuol dire rispetto a x o y
il testo dice:
dimostrare che la funzione [tex]f_(x)=e^x+x-sinx+1,x \in R[/tex], è invertibile. Detta g l'inversa, calcolare g'''(0)

[Darèios89]

Mh, non lo so, anche io nei testi trovo questa domanda senza che sia specificata la variabile in effetti...
Ad ogni modo purtroppo non saprei aiutarti sulla seconda domanda....spero che gugo possa illuminarci.

[enr87]

"Darèios89":

cioè penso che per essere invertibile una funzione deve essere strettamente monotona

Non per forza, c'è un teorema che dice che se una funzione è strettamente monotona, allora essa è invertibile, perchè per definizione di invertibilità la funzione deve essere biettiva, e la monotonia è una garanzia dell'iniettività della funzione.
Ma non è detto che se una funzione è invertibile essa sia monotona.

non sono convinto della tua ultima affermazione. fai l'esempio di una funzione invertibile non strettamente monotona.
[edit] la funzione inversa è intesa $ g(y) = f^(-1)(y) $ (dove y = f(x)), perchè hai una f(x). se è invertibile in un intervallo basta quindi che espliciti la x rispetto alla y

a ripensarci l'affermazione che hai fatto è vera, ma bisogna assumere che f sia "opportunamente" discontinua. per funzioni continue e definite su un intervallo invece non vale