Dimostrare che un limite esiste

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Sempre io con i miei limiti - in tutti i sensi...
Stavolta devo dimostrare che
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3 + y^5}{x^2 + y^4} = 0 \)

Ho provato a svolgerla in questo modo:

\(\displaystyle \Rightarrow f(\rho,\theta) = \frac{\rho^3 \cos^3 \theta + \rho^5 \sin^5 \theta}{\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^4 \sin^4 \theta} = \rho \frac{\cos^3 \theta + \rho^2 \sin^5 \theta}{\cos^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta}\)

Poiché \(\displaystyle |\cos \theta| , |\sin \theta| \le 1 \), allora

\(\displaystyle \Rightarrow f(\rho,\theta) \le \rho^2 \frac{1 + \rho^2}{\cos^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta} = \frac{2 \rho^2}{\cos^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta} \)

ma ora mi blocco. Non posso maggiorare sostituendo le funzioni trigonometriche al denominatore perché in realtà la funzione diventerebbe "più piccola", giusto?
Sono completamente fuori strada o ci sono vicino?

[Seneca1]

Un'idea potrebbe essere quella di studiare un po' la funzione di $theta$ che hai al denominatore.

[Brancaleone1]

Eh, ma come?
Ho provato a sostituire attraverso la formula fondamentale della trigonometria, ma niente, ho solo "peggiorato" la funzione...

\(\displaystyle ... = \frac{2 \rho^2}{\cos^2 \theta + \rho^2 (1 - 2 \cos^2 \theta + \cos^4 \theta)} = \frac{2 \rho^2}{(1 - \sin^2 \theta ) + \rho^2 \sin^4 \theta} \)