Dimostrare che un insieme è chiuso in R^3
Ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto per riuscire a risolvere un esercizio, è la prima volta che mi imbatto in un problema del genere e non so quale dovrebbe essere il procedimento, mi date una mano?
Provare che l'insieme X è chiuso:
$X= {(x,y,z)\epsilonRR^3 : 2x^2+2y^2+2xy+xz+zy-4x=0, x+y+z=0}$
Provare che l'insieme X è chiuso:
$X= {(x,y,z)\epsilonRR^3 : 2x^2+2y^2+2xy+xz+zy-4x=0, x+y+z=0}$
Risposte
Sai già che la controimmagine attraverso una funzione continua di un chiuso è chiusa?
sinceramente no...
In tal caso mi sa che ti tocca dimostrare direttamente che il complementare dell'insieme in questione è aperto (magari scrivendolo opportunamente come intersezione di due insiemi...). O studiare il teorema che ho citato prima.
ho cercato il teorema che mi hai indicato, trovo definizioni, dimostrazioni ma nessun esercizio che mi faccia capire come devo agire "praticamente"...
immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?
immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?
"ladidely":
immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?
Diciamo che non è il modo migliore.
Per applicare il teorema ti servono prima di tutto delle funzioni continue, quindi degli opportuni chiusi del codominio. La traccia ti suggerisce entrambe le cose. Che funzioni abbiamo in gioco?
"Epimenide93":
[quote="ladidely"]
immagino di dover mettere a sistema le due equazioni attraverso cui è definito l'insieme, sbaglio?
Diciamo che non è il modo migliore.
Per applicare il teorema ti servono prima di tutto delle funzioni continue, quindi degli opportuni chiusi del codominio. La traccia ti suggerisce entrambe le cose. Che funzioni abbiamo in gioco?[/quote]
ok, le due funzioni che definiscono l'insieme sono continue, ma non capisco come utilizzarle
L'insieme non è definito solo dalle due funzioni, ma dai punti sui quali le due funzioni assumono un ben preciso valore...
"Epimenide93":
L'insieme non è definito solo dalle due funzioni, ma dai punti sui quali le due funzioni assumono un ben preciso valore...
ovvero?
Stai studiando il luogo degli zeri di quelle funzioni, giusto?
"Epimenide93":
Stai studiando il luogo degli zeri di quelle funzioni, giusto?
per fare questo esprimo $x$ come $-y-z$ dalla seconda equazione di $X$ e di conseguenza trovo i punti di $RR^3$ del tipo
$(2+sqrt(4-y^2), y, -y-2+sqrt(4-y^2)))$ e $(2-sqrt(4-y^2), y, -y-2-sqrt(4-y^2)))$
esatto?
fatto questo come si procede?
È molto più semplice.
Provo a darti il la. Consideriamo una prima funzione \(\displaystyle f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \ f: (x,y,z) \mapsto x+y+z \). Si ha che l'insieme \(\displaystyle Y = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x + y + z = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \)...
Provo a darti il la. Consideriamo una prima funzione \(\displaystyle f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \ f: (x,y,z) \mapsto x+y+z \). Si ha che l'insieme \(\displaystyle Y = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x + y + z = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \)...
"Epimenide93":
È molto più semplice.
Provo a darti il la. Consideriamo una prima funzione \( \displaystyle f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \ f: (x,y,z) \mapsto x+y+z \). Si ha che l'insieme \( \displaystyle Y = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x + y + z = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \)...
mi sa che non ci sono...
$ f^{-1}(\{0\})$ dovrebbe essere $x+y+z=0$ da cui si ricava solo $x=-y-z$.
dall'altra equazione si ricava una cosa molto più complicata ma sempre di questo genere.
Allora, il singoletto \(\{0\}\) è chiuso in \(\mathbb{R}\) (come lo è ogni punto), \( \displaystyle Y = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x + y + z = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \) è controimmagine continua di un chiuso, quindi \( Y \) è chiuso in \(\mathbb{R}^3\). Similmente, detta \(\displaystyle g: (x,y,z) \mapsto 2x^2+2y^2 + 2xy + xz + yz - 4x \), si ha \(\displaystyle Z = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ 2x^2+2y^2 + 2xy + xz + yz - 4x = 0 \} = g^{-1}(\{0\}) \), quindi anche \(Z\) è chiuso. \(X = Y \cap Z\) è chiuso in quanto intersezione di due chiusi.
"Epimenide93":
Allora, il singoletto \( \{0\} \) è chiuso in \( \mathbb{R} \) (come lo è ogni punto), \( \displaystyle Y = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x + y + z = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \) è controimmagine continua di un chiuso, quindi \( Y \) è chiuso in \( \mathbb{R}^3 \). Similmente, detta \( \displaystyle g: (x,y,z) \mapsto 2x^2+2y^2 + 2xy + xz + yz - 4x \), si ha \( \displaystyle Z = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ 2x^2+2y^2 + 2xy + xz + yz - 4x = 0 \} = g^{-1}(\{0\}) \), quindi anche \( Z \) è chiuso. \( X = Y \cap Z \) è chiuso in quanto intersezione di due chiusi.
ah, tutto qui, senza nessun calcolo nè niente di simile... grazie Epimenide per la risposta e la pazienza,non ci sarei mai arrivata da sola.
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