Dimostrare che T(X) è chiuso
Buongirono a tutti ! Sto provando a risolvere il seguente esercizio :
" Sia $ X $ uno spazio di Banach e $ T \in L(X) $ un operatore lineare limitato che mappa X in se stesso; sia $ M $ tale che $ ||x||<= M ||Tx|| , \forall x\in X $ ,si dimostri che $T(X)$ è un sottospazio chiuso di $ X$ ".
Devo far vedere che preso un elemento $ {Tx_n}_n \in T(X) $,esso converge ad un elemento ${Tx} $ di tale spazio ! Ma devo anche dimostrare che $ x_n $ converge a $x$ ? Non posso dire semplicemente che $x_n$ lo prendo in $ X$ che è di Banach ??
Grazie
" Sia $ X $ uno spazio di Banach e $ T \in L(X) $ un operatore lineare limitato che mappa X in se stesso; sia $ M $ tale che $ ||x||<= M ||Tx|| , \forall x\in X $ ,si dimostri che $T(X)$ è un sottospazio chiuso di $ X$ ".
Devo far vedere che preso un elemento $ {Tx_n}_n \in T(X) $,esso converge ad un elemento ${Tx} $ di tale spazio ! Ma devo anche dimostrare che $ x_n $ converge a $x$ ? Non posso dire semplicemente che $x_n$ lo prendo in $ X$ che è di Banach ??
Grazie
Risposte
Che $T(X)$ sia un sottospazio è ovvio per linearità, devi solo far vedere che è chiuso.
Prendi dunque $(y_n)\subset T(X)$, $y_n\to y$; devi dimostrare che $y\in T(X)$.
Per ogni $n$ esiste $x_n\in X$ t.c. $y_n = T x_n$; potresti, ad esempio, cominciare a dimostrare che $(x_n)$ è di Cauchy in $X$ (e dunque convergente, essendo $X$ completo).
Prendi dunque $(y_n)\subset T(X)$, $y_n\to y$; devi dimostrare che $y\in T(X)$.
Per ogni $n$ esiste $x_n\in X$ t.c. $y_n = T x_n$; potresti, ad esempio, cominciare a dimostrare che $(x_n)$ è di Cauchy in $X$ (e dunque convergente, essendo $X$ completo).
Vediamo se ci riesco : pongo $ y_n= Tx_n $ e sia $ x_n \in X $ ,posso scrivere,grazie anche alla disuguaglianza che ho per ipotesi ,che $ ||x_n - x_m ||= || Tx_n - Tx_m || <= M || y_n - y_m ||< \varepsilon $ dato che $ Tx_n $ e $ Tx_m $ sono convergenti,ovviamente $ n,m > N $ fissato ,dunque $ x_n $ è di Cauchy in $ X $ ,che è completo ,e quindi è convergente ,con limite un certo $x$ in $ X$ ! Va bene??
Sì; adesso devi solo mostrare che $Tx = y$.
Allora,per farlo utilizzo la seguente disuguaglianza :
$ || y- Tx ||<= ||y - Tx_n ||+ ||Tx_n- Tx || $ ,infatti so che se $ x_n \rightarrow x $ allora $ Tx_n \rightarrow Tx $ ( $ || Tx_n - Tx || = || T(x_n-x)||<=||T|| ||x_n-x || $ che tende a zero per n che tende a infinito ) e inoltre so anche che $ Tx_n = y_n $ per come l'ho definito e $ y_n \rightarrow y $ ....va bene ???
$ || y- Tx ||<= ||y - Tx_n ||+ ||Tx_n- Tx || $ ,infatti so che se $ x_n \rightarrow x $ allora $ Tx_n \rightarrow Tx $ ( $ || Tx_n - Tx || = || T(x_n-x)||<=||T|| ||x_n-x || $ che tende a zero per n che tende a infinito ) e inoltre so anche che $ Tx_n = y_n $ per come l'ho definito e $ y_n \rightarrow y $ ....va bene ???
E' fin troppo 
Se $x_n\to x$ allora $Tx_n\to Tx$ poiché $T$ è continuo.
Se $x_n\to x$ allora $Tx_n\to Tx$ poiché $T$ è continuo.
Ah ok...però è sempre meglio abbondare !! Non si sa mai....metti caso che il prof mio,che è molto esigente,mi toglie 20 punti ???? ahahaahahahahaha...grazie comunque.... 
Non si sa mai....metti caso che il prof mio,che è molto esigente,mi toglie 20 punti ???? ahahaahahahahaha...grazie comunque....
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