Dimostrare che $sqrt(2) in RR$
Salve, scrivo perchè sono alle prese con una dimostrazione di analisi che non riesco bene a capire. Credo di avere qualche lacuna sugli intervalli, ma da solo non riesco esattamente a capire il mio problema.
- Conoscenze sui numeri reali che avavamo nel mio corso di analisi prima di affrontare la dimostrazione (fatta nelle prime lezioni):
-nessuna costruzione rigorosa di $RR$
(1)-assioma di Dedekind
(2)-teorema secondo cui dati $a<= b in RR EE c in RR t.c. a<=c<=b$[/list:u:3soiw9ef]
DIM:
Siano $A,B sube RR$:
$A={x in RR | x^2<2}$
$B={x in RR | x^2>2}$
Per il teorema (2) $EE c in RR t.c. a<=c<=b, AAa in A, AA b in B$
Dunque bisogna dimostrare che $c^2=2$
Ora a me sembra sia intuitivo che ciò sia vero. Infatti:
se $c<2=>c in A$
e se $c>2=>c in B$
Il mio professore invece ha fatto quasi una pagina di dimostrazioni, separando i due casi. Ha considerando un elemento $c-1/n$ con $n > > 0$ ( $c+1/n$ nell'altro caso) ed fa fatto delle considerazioni sul suo quadrato e sugli estrami superiore ed inferiore.
A me la mia dimostrazione sembra più che sufficiente, ma conoscendo il professore nella mia deve esserci qualcosa che mi è sfuggito. Cosa vi pare?
Lorenzo
Risposte
$sqrt(2)!in QQ$
$2=a^2$ con $a= frac{p}{q}$ quindi $a^2 = frac{p^2}{q^2}
$2q^2=p^2$ ponendo $p= 2m$
$2q^2=4m^2$
$q^2= 2m^2$ che è un assurdo
ti piace questa?
$2=a^2$ con $a= frac{p}{q}$ quindi $a^2 = frac{p^2}{q^2}
$2q^2=p^2$ ponendo $p= 2m$
$2q^2=4m^2$
$q^2= 2m^2$ che è un assurdo
ti piace questa?
Grazie per la risposta qwerty90, ma forse ho spiegato male il problema.
La dimostrazione che hai scritto tu la conosco anch'io, e dimostra che $sqrt(2)$ non appartiene a $QQ$.
Questo però non è sufficiente a stabilire che appartiene ad $RR$. Infatti, ad esempio, anche $sqrt(-1)$ non appartiene a $QQ$, ma non per questo è un numero reale.
La dimostrazione che hai scritto tu la conosco anch'io, e dimostra che $sqrt(2)$ non appartiene a $QQ$.
Questo però non è sufficiente a stabilire che appartiene ad $RR$. Infatti, ad esempio, anche $sqrt(-1)$ non appartiene a $QQ$, ma non per questo è un numero reale.
Più in generale qui vuoi dimostrare che ogni numero reale positivo ha una radice quadrata positiva. Non è così banale come la metti tu, lorenz; il problema è mostrare l'esistenza di quella $c$, come la chiami nel tuo post. Questo si può dimostrare in vari modi, alcuni semplici, altri anche piuttosto difficili e purtroppo sembra che il tuo prof abbia optato per uno di questi ultimi. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/dim ... 41935.html
"anonymous_ed8f11":
DIM:
Siano $A,B sube RR$:
$A={x in RR | x^2<2}$
$B={x in RR | x^2>2}$
Un appunto: attento che queste non sono sezioni di dedekind, ti manca qualche ipotesi sulla $x$ nei due insiemi...
Allora per la dimostrazione devi partire dai numeri razionali e poi andare ai reali. C'è una definizione che dice che l'insieme $RR$ si forma aggiungendo a $QQ$ tutti gli estremi superiori dei sottoinsiemi di $QQ$ limitati superiormente. Ora sappiamo per una dimostrazione banale che
Non esiste alcun numero $p in QQ$ tale che $p^2=2$
Dim.
Supponiamo che esista. Poichè p è razionale allora lo scriviamo $p=m/n >0$ m e n sono interi positivi privi di divisori diversi da 1, tale che $p^2=2$. Allora $m^2=2n^2$. Ora se $m^2$ è pari lo è anche m e quindi m=2s. Allora $n^2=2s^2$ e anche n è pari ma questo è impossibile perchè sono entrambi pari e non hanno divisori comuni diversi da 1.
Ora se prendiamo un sottoinsieme B dei razionali limitato superiormente in A vediamo che non ammette estremo superiore in A.
L'insieme $B={qinQQ : q>=0, q^2<2}$ è limitato ma non ammette est. sup in $QQ$.
Dim.
B è lim. sup. con $p^2>2$ che è un maggiornate di B. E' impossibile quindi che esista un $q^2>p^2$. Supponiamo sia p=supB. Visto che $QQ$ è totalmente ordinato deve succedere che$ p^2<2 , p^2=2 , p^2>2$ Poi c'è una parte di dimostrazione che ti dimostra che non può essere $p^2<2 , p^2>2$ perchè non sarebbero maggioranti o minoranti ecc... e quindi resta solo $p^2=2$, ma anche questo non appartiene a $QQ$ ma se invece appartenesse a $QQ$ sarebbe lui quello giusto. Poi i matematici fecero delle prove con altri estremi sup. ecc.. e videro che potevano creare un nuovo inseme $RR$ aggiungendo gli est. sup. di questi sottoinsiemi lim sup. A questo punto a ogni punto di una retta corrispondeva un numero.
ci sei adesso?
Non esiste alcun numero $p in QQ$ tale che $p^2=2$
Dim.
Supponiamo che esista. Poichè p è razionale allora lo scriviamo $p=m/n >0$ m e n sono interi positivi privi di divisori diversi da 1, tale che $p^2=2$. Allora $m^2=2n^2$. Ora se $m^2$ è pari lo è anche m e quindi m=2s. Allora $n^2=2s^2$ e anche n è pari ma questo è impossibile perchè sono entrambi pari e non hanno divisori comuni diversi da 1.
Ora se prendiamo un sottoinsieme B dei razionali limitato superiormente in A vediamo che non ammette estremo superiore in A.
L'insieme $B={qinQQ : q>=0, q^2<2}$ è limitato ma non ammette est. sup in $QQ$.
Dim.
B è lim. sup. con $p^2>2$ che è un maggiornate di B. E' impossibile quindi che esista un $q^2>p^2$. Supponiamo sia p=supB. Visto che $QQ$ è totalmente ordinato deve succedere che$ p^2<2 , p^2=2 , p^2>2$ Poi c'è una parte di dimostrazione che ti dimostra che non può essere $p^2<2 , p^2>2$ perchè non sarebbero maggioranti o minoranti ecc... e quindi resta solo $p^2=2$, ma anche questo non appartiene a $QQ$ ma se invece appartenesse a $QQ$ sarebbe lui quello giusto. Poi i matematici fecero delle prove con altri estremi sup. ecc.. e videro che potevano creare un nuovo inseme $RR$ aggiungendo gli est. sup. di questi sottoinsiemi lim sup. A questo punto a ogni punto di una retta corrispondeva un numero.
ci sei adesso?
Credo che con questo post avrò finalmente scoperto l'acqua calda, e forse non ho nemmeno capito bene il problema, però: per dimostrare che $\sqrt{2} \in RR$ non è sufficiente dire che il numero $\sqrt{2}$ è algebrico perché soluzione dell'equazione $x^2-2=0$ e, non essendo un numero complesso, perché è la radice di una quantità positiva, deve necessariamente essere un numero reale?
@Alex: Hai dimostrato che $sqrt(2)$ non è un numero razionale, o per essere più precisi che
non esiste un numero razionale $c$ che al quadrato faccia $2$.
La domanda di lorenz però è diversa, lui vuole dimostrare che
esiste un numero reale positivo che al quadrato faccia $2$.
@Raptorista: Purtroppo il tuo discorso è circolare. Quando dici
non esiste un numero razionale $c$ che al quadrato faccia $2$.
La domanda di lorenz però è diversa, lui vuole dimostrare che
esiste un numero reale positivo che al quadrato faccia $2$.
@Raptorista: Purtroppo il tuo discorso è circolare. Quando dici
non essendo un numero complesso, perché è la radice di una quantità positivastai usando il fatto che ogni numero reale ha una radice quadrata positiva. Questo è proprio quello che lorenz deve dimostrare (lorenz si limita a dimostrare che $2$ ha una radice quadrata positiva ma la sostanza non cambia).
Ah si giusto ho riletto la domanda. Comunque come mai questa cosa? In analisi 1 il mio professore non si è mai posto questo problema non l'ha mai dimostrato quindi non saprei cosa dire.
ho riletto la domanda. Comunque come mai questa cosa? In analisi 1 il mio professore non si è mai posto questo problema non l'ha mai dimostrato quindi non saprei cosa dire.
Consideriamo le classi di numeri reali:
$B = { r in RR^+ : r^2 > 2 }$
$A = { r in RR^+ : r^2 < 2 } uu RR^(-) uu {0}$
$( A, B )$ è una sezione del campo reale. Infatti si verificano facilmente:
1) $A,B$ sono non vuote.
2) $A$ non ha massimo; $B$ non ha minimo.
3) $A$ è inf satura; $B$ è sup satura.
4) Le classi sono separate.
5) Ogni numero reale, escluso al più uno, sta in $A$ o in $B$.
Si dimostra che ogni sezione del campo reale è di prima specie (l'elemento esculso è un numero reale).
Forse è una stupidaggine, però...
$B = { r in RR^+ : r^2 > 2 }$
$A = { r in RR^+ : r^2 < 2 } uu RR^(-) uu {0}$
$( A, B )$ è una sezione del campo reale. Infatti si verificano facilmente:
1) $A,B$ sono non vuote.
2) $A$ non ha massimo; $B$ non ha minimo.
3) $A$ è inf satura; $B$ è sup satura.
4) Le classi sono separate.
5) Ogni numero reale, escluso al più uno, sta in $A$ o in $B$.
Si dimostra che ogni sezione del campo reale è di prima specie (l'elemento esculso è un numero reale).
Forse è una stupidaggine, però...
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