Dimostrare che Mat(n,m,R) è di Banach
Salve ragazzi,
vorrei dimostrare che lo spazio delle matrici reali è di Banach secondo la norma indotta dalla norma-p su $ mathbb(R)^n $.
Per ora sono riuscito a dimostrare che in uno spazio vettoriale normato la convergenza di una successione implica che questa sia di Cauchy; di una successione di Cauchy ho studiato le proprietà (dimostrandole a prescindere dal particolare spazio normato in esame dunque di carattere generale) ovvero l' assoluta convergenza (cioè convergenza della norma dei termini della successione), la limitatezza e la convergenza indotta dall' esistenza di una EVENTUALE sottosuccessione convergente; degli spazi di banach ho studiato il teorema di caratterizzazione (che ho visto sotto diversi nomi) ovvero che uno spazio è di banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente implica la convergenza "semplice", cioè in cui i termini della successione su cui sono definite le somme parziali sono vettoriali e non scalari (cioè non sono norme).
A questo punto le strade sono 2: o trovo, da una successione di matrici generica, una sottosuccessione convergente o dimostro che una generica serie assolutamente convergente implichi la convergenza semplice.
Ringrazio in anticipo
vorrei dimostrare che lo spazio delle matrici reali è di Banach secondo la norma indotta dalla norma-p su $ mathbb(R)^n $.
Per ora sono riuscito a dimostrare che in uno spazio vettoriale normato la convergenza di una successione implica che questa sia di Cauchy; di una successione di Cauchy ho studiato le proprietà (dimostrandole a prescindere dal particolare spazio normato in esame dunque di carattere generale) ovvero l' assoluta convergenza (cioè convergenza della norma dei termini della successione), la limitatezza e la convergenza indotta dall' esistenza di una EVENTUALE sottosuccessione convergente; degli spazi di banach ho studiato il teorema di caratterizzazione (che ho visto sotto diversi nomi) ovvero che uno spazio è di banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente implica la convergenza "semplice", cioè in cui i termini della successione su cui sono definite le somme parziali sono vettoriali e non scalari (cioè non sono norme).
A questo punto le strade sono 2: o trovo, da una successione di matrici generica, una sottosuccessione convergente o dimostro che una generica serie assolutamente convergente implichi la convergenza semplice.
Ringrazio in anticipo
Risposte
AGGIORNAMENTO:
Se considero la norma indotta dalla norma-p, si ha
$ ||Ax||_p<= ||A||_p*||x||_p, x in mathbb(R)^n,A in mathbb(R)^(m xx n) $
dunque se scelgo i versori canonici $ e_k $ di $ mathbb(R)^n $ posso dimostrare che
$ ||A||_p^p>=||A*e_k||_p^p = ||a_k||_p^p=sum_(i = 1)^m |a_(ik)|^p >= |a_(ik)|^p ->||A||_p>=|a_(ik)| AAk=1...n $
con $ a_k $ colonna k-esima e $ a_(ij) $ elemento di posto i,j della matrice $ A $ .
stando ciò, se $ {A_n} $ è una successione di cauchy nello spazio di matrici, allora (mi risparmio tutta la definizione di succ. di cauchy concentrandomi solo sulla norma):
$ |a_n^(i,j) - a_(m)^(i,j)|<=||A_n-A_m||
questo significa che la successione degli elementi della matrice è di Cauchy ma essendo questa una successione di numeri reali allora è anche convergente ad un numero reale.
Più precisamente ogni successione costruita in modo che il termine n-esimo sia l'elemento i,j del termine n-esimo della successione di matrici è convergente.
Mi manca l'ultimo step: se per $ mathbb(R)^n $ si dimostra che una successione di un vettore ("vettore" non inteso in senso generale come elemento di uno spazio vettoriale ma elemento di $ mathbb(R)^n $ e cioè con n elementi ) è convergente SE E SOLO SE è convergente ogni sua componente; questo non riesco a dimostrarlo per $ mathbb(R)^(n xx m) $, quindi mi chiedo se sia solo una considerazione intuitiva ma si possono creare appositi controesempi oppure è vero e dimostrabile.
Vi prego raga io sto impazzendo, sto cercando da giorni in rete la dimostrazione che lo spazio di matrici sia di banach ma non si trova nulla! Sono arrivato a questo punto spero esista la dimostrazione per l'equivalenza di cui ho appena parlato così metto un punto.
Se considero la norma indotta dalla norma-p, si ha
$ ||Ax||_p<= ||A||_p*||x||_p, x in mathbb(R)^n,A in mathbb(R)^(m xx n) $
dunque se scelgo i versori canonici $ e_k $ di $ mathbb(R)^n $ posso dimostrare che
$ ||A||_p^p>=||A*e_k||_p^p = ||a_k||_p^p=sum_(i = 1)^m |a_(ik)|^p >= |a_(ik)|^p ->||A||_p>=|a_(ik)| AAk=1...n $
con $ a_k $ colonna k-esima e $ a_(ij) $ elemento di posto i,j della matrice $ A $ .
stando ciò, se $ {A_n} $ è una successione di cauchy nello spazio di matrici, allora (mi risparmio tutta la definizione di succ. di cauchy concentrandomi solo sulla norma):
$ |a_n^(i,j) - a_(m)^(i,j)|<=||A_n-A_m||
questo significa che la successione degli elementi della matrice è di Cauchy ma essendo questa una successione di numeri reali allora è anche convergente ad un numero reale.
Più precisamente ogni successione costruita in modo che il termine n-esimo sia l'elemento i,j del termine n-esimo della successione di matrici è convergente.
Mi manca l'ultimo step: se per $ mathbb(R)^n $ si dimostra che una successione di un vettore ("vettore" non inteso in senso generale come elemento di uno spazio vettoriale ma elemento di $ mathbb(R)^n $ e cioè con n elementi ) è convergente SE E SOLO SE è convergente ogni sua componente; questo non riesco a dimostrarlo per $ mathbb(R)^(n xx m) $, quindi mi chiedo se sia solo una considerazione intuitiva ma si possono creare appositi controesempi oppure è vero e dimostrabile.
Vi prego raga io sto impazzendo, sto cercando da giorni in rete la dimostrazione che lo spazio di matrici sia di banach ma non si trova nulla! Sono arrivato a questo punto spero esista la dimostrazione per l'equivalenza di cui ho appena parlato così metto un punto.
Stai facendo un ottimo esercizio. Il problema si potrebbe risolvere senza nessun conto, identificando \(\mathbb R^{n\times m}\) a \(\mathbb R^{nm}\), su cui tutte le norme sono equivalenti, e quindi tutte le norme sono complete. Ma questa non è una bella soluzione, tira fuori grossi risultati dal nulla e non da nessuna informazione sui meccanismi della dimostrazione.
Quello che hai fatto tu va benissimo. Ti resta da dimostrare che se i singoli elementi di una matrice convergono, allora tutta la matrice converge rispetto alla norma che hai indicato.
Prova cosí. Sia \(A_k=(a^{ij}_k)\) la tua successione di matrici, e supponiamo che esista una matrice \(A=(a^{ij})\) tale che \(a^{ij}_k\to a^{ij}\) quando \(k\to \infty\). Possiamo supporre che \(A=0\); questo non è fondamentale ma cosmetico, per rendere lo svolgimento più leggibile.
Ora, siccome \(a^{ij}_k\to 0\), possiamo concludere che \(\max_{ij} \lvert a^{ij}_k\rvert \to 0\). Ti lascio riflettere su questo. Questo è veramente il punto essenziale. Possiamo trarre questa conclusione perché \(i, j\) variano in un insieme finito.
E ora ci ricordiamo della definizione di norma. Per ogni \(x\in \mathbb R^m\),
\[
\lVert A_k x\rVert_p^p = \sum_i \lvert \sum_j a^{ij}_k x^j\rvert^p \le n \max_{ij} \lvert a^{ij}_k \rvert^p \lVert x\rVert_p^p , \]
da cui concludiamo che
\[
\lVert A_k\rVert_p \le n^{1/p} \max_{ij} \lvert a^{ij}_k \rvert \to 0.\]
Quello che hai fatto tu va benissimo. Ti resta da dimostrare che se i singoli elementi di una matrice convergono, allora tutta la matrice converge rispetto alla norma che hai indicato.
Prova cosí. Sia \(A_k=(a^{ij}_k)\) la tua successione di matrici, e supponiamo che esista una matrice \(A=(a^{ij})\) tale che \(a^{ij}_k\to a^{ij}\) quando \(k\to \infty\). Possiamo supporre che \(A=0\); questo non è fondamentale ma cosmetico, per rendere lo svolgimento più leggibile.
Ora, siccome \(a^{ij}_k\to 0\), possiamo concludere che \(\max_{ij} \lvert a^{ij}_k\rvert \to 0\). Ti lascio riflettere su questo. Questo è veramente il punto essenziale. Possiamo trarre questa conclusione perché \(i, j\) variano in un insieme finito.
E ora ci ricordiamo della definizione di norma. Per ogni \(x\in \mathbb R^m\),
\[
\lVert A_k x\rVert_p^p = \sum_i \lvert \sum_j a^{ij}_k x^j\rvert^p \le n \max_{ij} \lvert a^{ij}_k \rvert^p \lVert x\rVert_p^p , \]
da cui concludiamo che
\[
\lVert A_k\rVert_p \le n^{1/p} \max_{ij} \lvert a^{ij}_k \rvert \to 0.\]
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