Dimostrare che la funzione possiede un unico zero
Buona sera. Sarà l'orario ( non credo 
) ma ho difficoltà con lo svolgimento di un altro esercizio. Su internet, ho provato a vedere qualche argomento che affrontasse questo problema ma ho trovato davvero molto poco. Pertanto, come ultimo porto, mi rivolgo a voi, sperando possiate darmi una mano e soprattutto un chiarimento, dal momento che non avrei suggerimenti per risolvere esercizi di questo tipo.
Il testo richiede di dimostrare che la funzione:
$f_n(x)=e^x+nx -2 :R->R$
ha un unico zero $x_n$ appartenente ai reali. Si chiede inoltre di provare che $x_n$ appartiene a [0,1] per ogni n, cosicchè il $lim_n x_n=0$
Qualche parola a dirsi e a scriver(si), pochi calcoli a farsi.
Resto sempre più perplesso: sicuramente non avrò ottime basi, ma in linea generale sono riuscito a svolgere esercizi che si presentano un pò più complicati ( magari restano sempre banali per voi 
). Eppure, ogni volta, trovo ostacoli che mi impediscono di stare anche un attimino sicuro della mia preparazione, malgrado abbia studiato anche in maniera approfondita tutto ciò che mi è stato consigliato dal prof.
Invidio il personaggio del Faust...
vi ringrazio. Mi metto sempre a vostra completa disposizione per poter apprendere ancor di più!
alex
p.s. ho corretto la funzione $f__n(x)$
) ma ho difficoltà con lo svolgimento di un altro esercizio. Su internet, ho provato a vedere qualche argomento che affrontasse questo problema ma ho trovato davvero molto poco. Pertanto, come ultimo porto, mi rivolgo a voi, sperando possiate darmi una mano e soprattutto un chiarimento, dal momento che non avrei suggerimenti per risolvere esercizi di questo tipo.Il testo richiede di dimostrare che la funzione:
$f_n(x)=e^x+nx -2 :R->R$
ha un unico zero $x_n$ appartenente ai reali. Si chiede inoltre di provare che $x_n$ appartiene a [0,1] per ogni n, cosicchè il $lim_n x_n=0$
Qualche parola a dirsi e a scriver(si), pochi calcoli a farsi.
Resto sempre più perplesso: sicuramente non avrò ottime basi, ma in linea generale sono riuscito a svolgere esercizi che si presentano un pò più complicati ( magari restano sempre banali per voi ). Eppure, ogni volta, trovo ostacoli che mi impediscono di stare anche un attimino sicuro della mia preparazione, malgrado abbia studiato anche in maniera approfondita tutto ciò che mi è stato consigliato dal prof. Invidio il personaggio del Faust...
vi ringrazio. Mi metto sempre a vostra completa disposizione per poter apprendere ancor di più!
alex
p.s. ho corretto la funzione $f__n(x)$
Risposte
In generale:
trova un intervallo in cui la tua funzione è continua e monotona (crescente o decrescente).
se in questo intervallo [a,b] si ha $f(a)*f(b)<0$ allora la tua f(x) si annulla in un punto interno a tale intervallo.
Lo ricordo anche come "metodo di separazione delle radici", quando usiamo il metodo grafico per risolvere le equazioni.
E' una diretta conseguenza del teorema di esistenza degli zeri.
Lascio a te le conclusioni
trova un intervallo in cui la tua funzione è continua e monotona (crescente o decrescente).
se in questo intervallo [a,b] si ha $f(a)*f(b)<0$ allora la tua f(x) si annulla in un punto interno a tale intervallo.
Lo ricordo anche come "metodo di separazione delle radici", quando usiamo il metodo grafico per risolvere le equazioni.
E' una diretta conseguenza del teorema di esistenza degli zeri.
Lascio a te le conclusioni
mmm....
Io stavo provando col metodo delle tangenti, applicando:
$x_(k+1) = x_k-(f(x_k))/(f'(x_k))$ ma non so se sia corretto. Nel caso precedente, come faccio a determinare un intervallo in cui la funzione risulti continua e monotona, in presenza di n?
Se n non vi fosse, la funzione dovrebbe risultare crescente ed inoltre continua anche in [0,1]
Io stavo provando col metodo delle tangenti, applicando:
$x_(k+1) = x_k-(f(x_k))/(f'(x_k))$ ma non so se sia corretto. Nel caso precedente, come faccio a determinare un intervallo in cui la funzione risulti continua e monotona, in presenza di n?
Se n non vi fosse, la funzione dovrebbe risultare crescente ed inoltre continua anche in [0,1]
Una versione estesa del teorema degli zeri recita così: dimostrala per esercizio
Noto per inciso che se la situazione è scambiata (cioè a $-oo$ va a $+oo$ e a $+oo$ va a $-oo$) ti basta riutilizzare il teorema con $-f$.
Insomma, usiamo questo teorema, e abbiamo che esiste uno zero.
Come facciamo a provare che è unico? Ad esempio possiamo far vedere che la funzione è ingettiva. Idee?
e per trovare lo zero? Io scriverei l'uguaglianza (cioè $f(zero)=0$) e vedrei un po' cosa mi ricorda..ad esempio utilizzando la definizione di $e$. Ma la verità è che non ho ben capito cosa vuoi provare. Non è che vuoi provare che sta in $[0 1/n]$?
Buon lavoro!
Data $f:\RR \to RR$, continua,
se $lim_{x to -oo}f(x)=-oo$ e $lim_{x to +oo}f(x)=+oo$ allora questa ha (almeno) uno zero.
Noto per inciso che se la situazione è scambiata (cioè a $-oo$ va a $+oo$ e a $+oo$ va a $-oo$) ti basta riutilizzare il teorema con $-f$.
Insomma, usiamo questo teorema, e abbiamo che esiste uno zero.
Come facciamo a provare che è unico? Ad esempio possiamo far vedere che la funzione è ingettiva. Idee?
e per trovare lo zero? Io scriverei l'uguaglianza (cioè $f(zero)=0$) e vedrei un po' cosa mi ricorda..ad esempio utilizzando la definizione di $e$. Ma la verità è che non ho ben capito cosa vuoi provare. Non è che vuoi provare che sta in $[0 1/n]$?
Buon lavoro!
Scusate se magari sbaglio...
Si può semplicemente notare che lo zero è tale per cui $e^x+nx-1=0$ quindi $e^x=1-nx$.
Ora se rappresentiamo i due grafici notiamo che l'unico punto che soddisfa la condizioni è $x=0$ per ogni $n$.
Si può semplicemente notare che lo zero è tale per cui $e^x+nx-1=0$ quindi $e^x=1-nx$.
Ora se rappresentiamo i due grafici notiamo che l'unico punto che soddisfa la condizioni è $x=0$ per ogni $n$.
Effettivamente, anche a me è venuto in mente di provare graficamente l'esistenza di un unico zero. La consegna Gaal è scritta tutta lì. Non so come venga richiesto ma so che quanto si vuole richiedere è tutto lì.
Purtroppo non posso esserti molto d'aiuto, mi spiace
EDIT: ragazzi, la funzione è $f_n(x)=e^x+nx-2$
ho sbagliato a copiare. Mi sembrava troppo bello...
Nel mentre sto cercando di trovare una soluzione al primo punto del problema.
Ho provato a considerare la funzione generatrice $f(x)=e^x+nx-2$ e ne ho calcolato la derivata prima $f'(x)=e^x+n$. La funzione risulta essere strettamente monotona, crescente. Pertanto ammette zero e questi è unico. Dopodichè ho considerato l'equazione:
$x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))$ in un intervallo chiuso e limitato. Personalmente ho considerato l'intervallo $[0,1]$
Ho calcolato la funzione ai due estremi:
$f(0)=-1 <0$
$f(1)=e+n-2>0$ per ogni n appartenente ai naturali. Questo permette di dedurre che lo zero cercato sta sicuramente tra [0,1]
Inoltre si ha, data la crescenza della funzione, che:
$minf'=f'(0)$
$maxf'=f'(1)$
tuttavia, non riesco a trovare il valore numerico dello zero.questo è quanto svolto finora e neanche so se sia effettivamente corretto.
Purtroppo non posso esserti molto d'aiuto, mi spiace
EDIT: ragazzi, la funzione è $f_n(x)=e^x+nx-2$
ho sbagliato a copiare. Mi sembrava troppo bello...
Nel mentre sto cercando di trovare una soluzione al primo punto del problema.
Ho provato a considerare la funzione generatrice $f(x)=e^x+nx-2$ e ne ho calcolato la derivata prima $f'(x)=e^x+n$. La funzione risulta essere strettamente monotona, crescente. Pertanto ammette zero e questi è unico. Dopodichè ho considerato l'equazione:
$x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))$ in un intervallo chiuso e limitato. Personalmente ho considerato l'intervallo $[0,1]$
Ho calcolato la funzione ai due estremi:
$f(0)=-1 <0$
$f(1)=e+n-2>0$ per ogni n appartenente ai naturali. Questo permette di dedurre che lo zero cercato sta sicuramente tra [0,1]
Inoltre si ha, data la crescenza della funzione, che:
$minf'=f'(0)$
$maxf'=f'(1)$
tuttavia, non riesco a trovare il valore numerico dello zero.questo è quanto svolto finora e neanche so se sia effettivamente corretto.
Io farei così:
La funzione è sempre crescente su tutto R
Per $x>=1$ la funzione è sicuramente positiva per ogni valore di n>0
Per x=0 f è negativa indipendentemente dal valore di n
Quindi per il teorema degli zeri dovrebbe esistere uno zero della funzione fra 0 e 1
(sempre se possiamo dire che n>0)
Per quanto riguarda l'ultimo punto sul limite dovrebbe essere una conseguenza del teorema degli zeri.
La funzione è sempre crescente su tutto R
Per $x>=1$ la funzione è sicuramente positiva per ogni valore di n>0
Per x=0 f è negativa indipendentemente dal valore di n
Quindi per il teorema degli zeri dovrebbe esistere uno zero della funzione fra 0 e 1
(sempre se possiamo dire che n>0)
Per quanto riguarda l'ultimo punto sul limite dovrebbe essere una conseguenza del teorema degli zeri.
Vedo ora il tuo EDIT ed è più o meno quello che ho scritto io.
Per quanto riguarda il valore dello zero non credo tu possa calcolarlo algebricamente ma a quanto ne so lo puoi approssimare solo graficamente
Per quanto riguarda il valore dello zero non credo tu possa calcolarlo algebricamente ma a quanto ne so lo puoi approssimare solo graficamente
Grazie Feliciano. Si, possiamo dire che n>0 in quanto n appartiene ai naturali, non includendo lo zero.
Non ho ben capito come fare a calcolare il limite...o a provare che è uguale a 0
Non ho ben capito come fare a calcolare il limite...o a provare che è uguale a 0
Ragazzi, scusatemi se riprendo di nuovo la discussione, ma non ho ben capito che valore abbia $x_n$: siamo giunti, sì, alla conclusione che la funzione ammette uno zero in $[0,1]$ ma non si è dimostrato che questi è effettivamente l'unico zero. Come si dovrebbe fare per dimostrarne l'unicità? dovrei forse ragionare in maniera analoga nello stesso intervallo?
Ma qualche difficoltà la trovo nel capire come fare a calcolare il $limx_n$. Spero in ulteriori chiarimenti. Vi ringrazio.
Alex
Ma qualche difficoltà la trovo nel capire come fare a calcolare il $limx_n$. Spero in ulteriori chiarimenti. Vi ringrazio.
Alex
Il fatto che la funzione sia strettamente crescente rispetto ad x ti assicura l'unicità dello zero. Sulla seconda domanda ci devo un po' pensare
Grazie, Mathematico. Quindi la stretta monotonia è sufficiente...ovvio. 
Aspetto novità su quel limite un pò ostico. Tien presente che non siamo riusciti mai a definire $x_n$...
Aspetto novità su quel limite un pò ostico. Tien presente che non siamo riusciti mai a definire $x_n$...
Rileggendo i vari post, mi sono accorto che Gaal Dornick ha praticamente risolto l'esercizio . Se riesci a dimostrare che $x_n\in [0, 1/n]$ hai finito. Ti lascio il gusto di provarci . Fammi sapere ok?
. Se riesci a dimostrare che $x_n\in [0, 1/n]$ hai finito. Ti lascio il gusto di provarci . Fammi sapere ok?
.. mi sto confondendo, mathematico. Come faccio a provare che $x_n$ appartiene a tale intervallo?
Ma per il limite, il calcolo si risolve in questo modo? Sto diventando odioso, me ne rendo conto, ma quando non riesco a comprendere un argomento mi intestardisco....
Ma per il limite, il calcolo si risolve in questo modo? Sto diventando odioso, me ne rendo conto, ma quando non riesco a comprendere un argomento mi intestardisco....
Ricapitoliamo un attimo:
$AAn\inNN$ la funzione $f_n(x)= e^x+nx-2$ è continua in $RR$ e dunque è continua in $[0,1]$.
Inoltre $f_n(0)= -1<0$ mentre $f_n(1)= e+n-2>e-2>0$. La funzione assume valori discordi agli estremi e per il teorema degli zeri esiste almeno un $x_n\in [0,1]$ tale che $f_n(x_n)=0$. Hai fatto vedere che la funzione è monotona crescente e ciò ti assicura l'unicità. Ora ci facciamo furbi:
$f_n(0)=-1<0$ mentre $f_n(1/n)= e^(1/n)+1-2 = e^(1/n)-1$. Osserva ora che $f_n(1/n)>0 AAn\in NN$ e dunque per il teorema degli zeri hai che $x_n\in [0, 1/n]$, o in modo più chiaro $0<= x_n<=1/n$. Quando $n->\infty$ $x_n$ è costretto a decrescere a zero perchè maggiorato da una successione infinitesima quale è $1/n$.
$AAn\inNN$ la funzione $f_n(x)= e^x+nx-2$ è continua in $RR$ e dunque è continua in $[0,1]$.
Inoltre $f_n(0)= -1<0$ mentre $f_n(1)= e+n-2>e-2>0$. La funzione assume valori discordi agli estremi e per il teorema degli zeri esiste almeno un $x_n\in [0,1]$ tale che $f_n(x_n)=0$. Hai fatto vedere che la funzione è monotona crescente e ciò ti assicura l'unicità. Ora ci facciamo furbi:
$f_n(0)=-1<0$ mentre $f_n(1/n)= e^(1/n)+1-2 = e^(1/n)-1$. Osserva ora che $f_n(1/n)>0 AAn\in NN$ e dunque per il teorema degli zeri hai che $x_n\in [0, 1/n]$, o in modo più chiaro $0<= x_n<=1/n$. Quando $n->\infty$ $x_n$ è costretto a decrescere a zero perchè maggiorato da una successione infinitesima quale è $1/n$.
"Mathematico":
Osserva ora che $f_n(1/n)>0 AAn\in NN$ e dunque per il teorema degli zeri hai che $x_n\in [0, 1/n]$, o in modo più chiaro $0<= x_n<=1/n$. Quando $n->\infty$ $x_n$ è costretto a decrescere a zero perchè maggiorato da una successione infinitesima quale è $1/n$.
Hai proprio ragione!!!
io mi son confuso una volta determinata $f_n(1/n)$. Non avevo considerato che anche la successioe 1/n tendesse a 0. Mathematico, ti sono debitore! Non hai idea di quanto io abbia imparato grazie a queste tue ultime considerazioni. Grazie anche a tutti gli altri Grazie infinite.
Alex
Sarebbe giusto ringraziare Gaal Dornick. Se non avessi letto il suo post probabilmente non ci sarei arrivato . Comunque prego!!
. Comunque prego!!
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