Dimostrare che la forma differenziale è esatta

[enrico___1]

E' data la forma differenziale

[math]w(x,y)=\frac{y^2}{x^2\sqrt{x^2+y^2}}dx - \frac{y}{x\sqrt{x^2+y^2}}dy[/math]

dimostrare che w è esatta nel semipiano x>0



Ho provato a fare i calcoli e siccome

[math]\partial_{1,y}=\partial_{2,x}[/math]

ed inoltre

[math]\oint_C w\cdot T\; ds=0[/math]

dove C è il sostegno della circonferenza di centro (0,0) e di raggio 1; w non dovrebbe essere esatta per ogni x?

[magox]

Secondo me l'esercizio chiede solo di determinare l'esattezza della forma per x>0.E ciò è vero perché la forma è chiusa e l'aperto x>0 è semplicemente connesso.La medesima cosa vale per l'aperto x

[ciampax]

La forma risulta definita per

[math]x\not= 0,\ x^2+y^2\not= 0[/math]

e quindi per tutti i punti del piano eccetto l'asse delle y (

[math]x=0[/math]

). Ovviamente, potrai considerare la sua esattezza solo sui due semipiani determinati da tale asse, quello destro e quello sinistro. Ecco perché la richiesta di dimostrare che lo sia solo su x>0. Prova a vedere cosa accade se consideri una curva che sta metà da un lato e metà da un altro, e ti accorgerai che l'integrale diverge!

[magox]

A me pare che la condizione

[math]x^2+y^2 \not =0[/math]

sia assorbita dalla condizione

[math]x \not =0[/math]

.Del resto sulla curva

[math]x^2+y^2 =0[/math]

l'unico punto reale è (0,0) che già stà sul'asse y.

P.S. Non vedo differenze tra la risposta di Ciampax ( un tantino...sovrabbondante !) e la mia prima.E' per questo che l'avete "declassata "?

[enrico___1]

La tua domanda era stata scelta (quasi subito) automaticamente dal sistema come miglior risposta, non permettendo quindi ad altri utenti di aggiungere altro. Sta di fatto che le due risposte sono pressochè simili, e quindi do la miglior risposta a magox che è stato più rapido.