Dimostrare che il dominio del flusso di una ODE è un aperto.
Buonasera,
stavo rivedendo la teoria sulle Equazioni Differenziali Ordinarie e mi sono bloccato su una dimostrazione che non riesco a fare.
Il contesto è il seguente: siano $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un aperto, $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$ un mappa di classe $C^1$ su $\Omega$ e dato $(t_0, x_0) \in \Omega$ consideriamo il solito problema di Cauchy:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = f(t, x)\\
x(t_0) = x_0
\end{cases} ( \star ).
$$
Dalla teoria standard sappiamo che esiste un un'unica soluzione massimale a tale problema e possiamo definire una mappa, detta flusso dell'equazione differenziale, che associa a $(t; t_0, x_0)$ il punto $\phi(t; t_0, x_0) \in \Omega$, dove $\phi(cdot; t_0, x_0)$ è soluzione al problema di cauchy di cui sopra.
Consideriamo adesso il seguente insieme:
$$
\mathcal{D} = \{ (t, t_0, x_0) \in \mathbb{R} \times \Omega: \exists I(t_0, x_0) \ \text{intervallo aperto di $\mathbb{R}$}, \ \text{con $s, t_0 \in I(t_0, x_0)$ ed} \\ \exists \gamma: I(t, x) \to \mathbb{R}^n \ \text{soluzione al problema di Cauchy } \ (\star ) \}.$$
Vorrei dimostrare che è aperto in $\mathbb{R} \times \Omega$, ora poiché $\Omega$ è aperto, basta dimostrare che $\mathcal{D}$ è aperto in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n+1}$.
Prendiamo un punto $(t, t_0, x_0) \in \mathcal{D}$ e mostriamo che esiste un intorno aperto di tale punto contenuto in $\mathcal{D}$. Poiché $(t, t_0, x_0) in \mathcal{D}$ per definizione esiste un intervallo aperto $I(t_0, x_0)$ che contiene $t$ e $t_0$ e una curva $\gamma: I(t_0, x_0) \to \mathbb{R}^n$ che è soluzione del problema di Cauchy $(\star)$.
Supponiamo che $t > t_0$ e consideriamo il compatto connesso:
$$
K = \{(s, \phi(s, t_0, x_0) ) : s \in [t_0, t]\} \subset \Omega
$$
per ogni punto $(s, \phi(s)) \in K$ posso trovare un $\delta(s) > 0$ e un $\epsilon(s) > 0$ per cui c'è una soluzione di $\dot{x} = f(t', x(t'))$ che al tempo $s$ passa per $\phi(s)$ che vive in $(s - \delta(s), s + \delta(s)) \times B(\phi(s), \epsilon(s))$. Per compattezza riesco a trovare un ricoprimento finito di $K$, quindi:
$$K \subset \cup_{i = 1}^k (s_i - \delta(s_i), s_i + \delta(s_i)) \times B(\phi(s_i), \epsilon(s_i)).$$
Vorrei poter restringere ancora di più l'aperto $\cup_{i = 1}^k (s_i - \delta(s_i), s_i + \delta(s_i)) \times B(\phi(s_i), \epsilon(s_i))$ per poi dimostrare che è in $\mathcal{D}$, tuttavia non saprei come continuare. Non so nemmeno se è la strada giusta. Qualche hint/consiglio?
stavo rivedendo la teoria sulle Equazioni Differenziali Ordinarie e mi sono bloccato su una dimostrazione che non riesco a fare.
Il contesto è il seguente: siano $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un aperto, $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$ un mappa di classe $C^1$ su $\Omega$ e dato $(t_0, x_0) \in \Omega$ consideriamo il solito problema di Cauchy:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = f(t, x)\\
x(t_0) = x_0
\end{cases} ( \star ).
$$
Dalla teoria standard sappiamo che esiste un un'unica soluzione massimale a tale problema e possiamo definire una mappa, detta flusso dell'equazione differenziale, che associa a $(t; t_0, x_0)$ il punto $\phi(t; t_0, x_0) \in \Omega$, dove $\phi(cdot; t_0, x_0)$ è soluzione al problema di cauchy di cui sopra.
Consideriamo adesso il seguente insieme:
$$
\mathcal{D} = \{ (t, t_0, x_0) \in \mathbb{R} \times \Omega: \exists I(t_0, x_0) \ \text{intervallo aperto di $\mathbb{R}$}, \ \text{con $s, t_0 \in I(t_0, x_0)$ ed} \\ \exists \gamma: I(t, x) \to \mathbb{R}^n \ \text{soluzione al problema di Cauchy } \ (\star ) \}.$$
Vorrei dimostrare che è aperto in $\mathbb{R} \times \Omega$, ora poiché $\Omega$ è aperto, basta dimostrare che $\mathcal{D}$ è aperto in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n+1}$.
Prendiamo un punto $(t, t_0, x_0) \in \mathcal{D}$ e mostriamo che esiste un intorno aperto di tale punto contenuto in $\mathcal{D}$. Poiché $(t, t_0, x_0) in \mathcal{D}$ per definizione esiste un intervallo aperto $I(t_0, x_0)$ che contiene $t$ e $t_0$ e una curva $\gamma: I(t_0, x_0) \to \mathbb{R}^n$ che è soluzione del problema di Cauchy $(\star)$.
Supponiamo che $t > t_0$ e consideriamo il compatto connesso:
$$
K = \{(s, \phi(s, t_0, x_0) ) : s \in [t_0, t]\} \subset \Omega
$$
per ogni punto $(s, \phi(s)) \in K$ posso trovare un $\delta(s) > 0$ e un $\epsilon(s) > 0$ per cui c'è una soluzione di $\dot{x} = f(t', x(t'))$ che al tempo $s$ passa per $\phi(s)$ che vive in $(s - \delta(s), s + \delta(s)) \times B(\phi(s), \epsilon(s))$. Per compattezza riesco a trovare un ricoprimento finito di $K$, quindi:
$$K \subset \cup_{i = 1}^k (s_i - \delta(s_i), s_i + \delta(s_i)) \times B(\phi(s_i), \epsilon(s_i)).$$
Vorrei poter restringere ancora di più l'aperto $\cup_{i = 1}^k (s_i - \delta(s_i), s_i + \delta(s_i)) \times B(\phi(s_i), \epsilon(s_i))$ per poi dimostrare che è in $\mathcal{D}$, tuttavia non saprei come continuare. Non so nemmeno se è la strada giusta. Qualche hint/consiglio?
Risposte
Up, nessuno che possa darmi un hint? 
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