Dimostrare che i vettori formano un sottospazio di R^4

[dribusen]

salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:):
dimostrare che i vettori

[math]t^(x^1, x^2, x^3)[/math]

(t sta per trasposta, non so come si fa a farla diventare apice:)) appartenenti a

[math]R^3[/math]

che soddisfano l'equazione

[math]x1+2x2-x3=0[/math]

formano un sottospazio vettoriale W di

[math]R^4[/math]

; determinare la dimensione e una base di W.
io so che per dimostrare se un vettore appartiene ad un sottospazio bisogna scegliere due vettori generici che rispettano le condizioni date e controllare se:
è vuoto;
se è chiuso rispetto alla somma e al prodotto. ma qui ho un vettore formato da 3 elementi che deve appartenere ad

[math]R^4[/math]

. grazie mille per il vostro aiuto:)

[rino6999]

infatti secondo me c'è un errore nel testo
dovrebbe essere : dimostrare che i vettori

[math](x_1,x_2,x_3,x_4)[/math]

,soluzioni dell'equazione che hai detto,formano un sottospazio di

[math]R^4[/math]

,il che mi sembra molto facile da dimostrare

[dribusen]

infatti è quello che avevo immaginato pure io ma il professore mi ha detto che il testo è corretto ma non lo ha svolto a lezione....grazie mille per la risposta:)

[Studente Anonimo]

Scusate l'intromissione ma, secondo me, il testo dovrebbe recitare così:

Dimostrare che i vettori

[math]\small\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3[/math]

che soddisfano l'equazione

[math]\small x_1+2x_2-x_3=0\\[/math]

_
formano un sottospazio vettoriale

[math]W[/math]

di

[math]\mathbb{R}^3[/math]

; determinare la dimensione e una base di

[math]W\\[/math]

.


Può andare? :)

[rino6999]

prego

i miei più sentiti complimenti al tuo professore,soprattutto per la disponibilità ad accogliere le richieste degli studenti

Aggiunto 29 minuti più tardi:

sì TeM ,in effetti potrebbe anche essere un errore di stampa

[math]R^4[/math]

invece di

[math]R^3[/math]

però può essere vera anche l'altra interpretazione,nel senso che

[math]x_4[/math]

può fare quello che gli pare :-)

[dribusen]

se fosse in

[math]R^3[/math]

...la dimensione come si fa a calcolarla?

[rino6999]

in generale,le soluzioni di un'equazione omogenea in n variabili costituiscono un sottospazio di

[math]R^n[/math]

di dimensione

[math]n-1[/math]

nel caso del tuo esercizio si ha

[math]x_3=x_1+2x_2[/math]

quindi W è costituito dai vettori del tipo

[math](x_1,x_2,x_1+2x_2)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1,2)[/math]

[math](1,0,1)[/math]

e

[math](0,1,2)[/math]

costituiscono una base di W

[dribusen]

hmm.....credo di aver capito:) grazie mille per l'aiuto:)