Dimostrare che $f''(x_0)=0$ senza studiare derivata seconda
EDIT: ho corretto la traccia ed ho tolto il grafico (tanto l'immagine non si caricava)
Su un compito ho trovato la seguente traccia:
Allora ho studiato la funzione e ne ho tracciato il grafico, tutto a posto, tralasciando lo studio della derivata seconda.
Ora però, mi trovo a dover dimostrare che esistono quei famosi tre punti (almeno 3) in cui la derivata seconda si annulla, senza poter porre $f''(x) = 0$ che sarebbe la cosa più facile.
Quindi cosa faccio? Ragiono un po' sul significato "grafico" di derivata seconda. Praticamente essa serve a determinare la concavità o la convessità di una funzione, dico bene?
Come si può vedere, in prossimità dei punti di massimo e di minimo, la concavità della funzione cambia. Questo implica che il segno della derivata seconda cambia e quindi (ma con questo quindi sto implicitamente ipotizzando la continuità di $f''(x)$) che esiste un punto in cui la derivata seconda si annulla.
Le mie conclusioni sono le seguenti:
la derivata seconda si annulla esattamente 3 volte
- una volta tra $(-oo,0)$
- una volta tra $(0,4)$
- una volta tra $(4,+oo)$
Credo che ciò che dico sia corretto, ma evidentemente spuntano fuori altri problemi:
1. Non mi sembra una dimostrazione rigorosa. Mi sono basato soprattutto sul grafico e per giunta ho dato per scontata la continuità di $f''(x)$ almeno nei punti in cui si annulla;
2. Non riesco a determinare con più precisione i punti in cui $f''(x) = 0$, se non ancora una volta osservando il grafico (ma questo lo considero barare
)
Suggerimenti? Correzioni?
Dovrei procedere in altri modi?
Su un compito ho trovato la seguente traccia:
Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico
$f(x) = arctan(x-1) - arctan(x/2)$
N.B. Non si richiede lo studio della derivata seconda. Dimostrare che esistono almeno 3 punti tali che $f''(x) = 0$.
Allora ho studiato la funzione e ne ho tracciato il grafico, tutto a posto, tralasciando lo studio della derivata seconda.
Ora però, mi trovo a dover dimostrare che esistono quei famosi tre punti (almeno 3) in cui la derivata seconda si annulla, senza poter porre $f''(x) = 0$ che sarebbe la cosa più facile.
Quindi cosa faccio? Ragiono un po' sul significato "grafico" di derivata seconda. Praticamente essa serve a determinare la concavità o la convessità di una funzione, dico bene?
Come si può vedere, in prossimità dei punti di massimo e di minimo, la concavità della funzione cambia. Questo implica che il segno della derivata seconda cambia e quindi (ma con questo quindi sto implicitamente ipotizzando la continuità di $f''(x)$) che esiste un punto in cui la derivata seconda si annulla.
Le mie conclusioni sono le seguenti:
la derivata seconda si annulla esattamente 3 volte
- una volta tra $(-oo,0)$
- una volta tra $(0,4)$
- una volta tra $(4,+oo)$
Credo che ciò che dico sia corretto, ma evidentemente spuntano fuori altri problemi:
1. Non mi sembra una dimostrazione rigorosa. Mi sono basato soprattutto sul grafico e per giunta ho dato per scontata la continuità di $f''(x)$ almeno nei punti in cui si annulla;
2. Non riesco a determinare con più precisione i punti in cui $f''(x) = 0$, se non ancora una volta osservando il grafico (ma questo lo considero barare
)Suggerimenti? Correzioni?
Dovrei procedere in altri modi?
Risposte
Il grafico non lo vedo. Quanto alla dimostrazione io proverei a usare Rolle applicato a $f'$.
Beh, considera la derivata prima. A conti fatti è
[tex]\displaystyle \frac{-3x^2+4x}{(x^2-3x+2)(4-x^2)}[/tex]
Ora, è facile osservare che il limite per [tex]x\to-\infty[/tex] è [tex]+\infty[/tex] e lo stesso vale per [tex]x\to -2^+[/tex], [tex]x\to 2^-[/tex], [tex]x\to+\infty[/tex].
Pertanto, la funzione deve avere dei minimi relativi in [tex](-\infty,-2)[/tex],[tex](-2,2)[/tex], [tex](2,+\infty)[/tex]. In corrispondenza di tali punti, la derivata della derivata, ossia la derivata seconda, deve annullarsi...
Poi puoi evitare di passare dai minimi relativi facendo un po' più di sforzo e usando il teorema di Rolle...
[tex]\displaystyle \frac{-3x^2+4x}{(x^2-3x+2)(4-x^2)}[/tex]
Ora, è facile osservare che il limite per [tex]x\to-\infty[/tex] è [tex]+\infty[/tex] e lo stesso vale per [tex]x\to -2^+[/tex], [tex]x\to 2^-[/tex], [tex]x\to+\infty[/tex].
Pertanto, la funzione deve avere dei minimi relativi in [tex](-\infty,-2)[/tex],[tex](-2,2)[/tex], [tex](2,+\infty)[/tex]. In corrispondenza di tali punti, la derivata della derivata, ossia la derivata seconda, deve annullarsi...
Poi puoi evitare di passare dai minimi relativi facendo un po' più di sforzo e usando il teorema di Rolle...
Ho scritto in contemporanea...
Ma dalla traccia non si richiede di dimostrare che esistono 3 punti almeno in cui $f(x)=0$? non $f''(x)$
"Zkeggia":
Ma dalla traccia non si richiede di dimostrare che esistono 3 punti almeno in cui $f(x)=0$? non $f''(x)$
In effetti avevo sbagliato a copiare la traccia. Ho corretto.
Grazie a tutti per le risposte, provo a chiedere un po' a Rolle cosa ne pensa
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