Dimostrare che $f$ ha uno ed un solo zero su $RR$.

[Kashaman]

Dimostrare che la funzione $G(X) = \int_0^x ( e^(-t^2))dt+x-1$ ha uno ed un solo zero su $RR$ .

svolgimento :
Innanzi tutto consideriamo la funzione $f(t)= e^(-t^2)$ .
$domf = RR$ , in particolare $f$ è continua su $RR$ e dunque è integrabile in ogni intervallo di tipo $[a,b] sube RR$ con $a Ne segue che il dominio della funzione integrale $h(x) = \int_0^x ( e^(-t^2))dt$ è tutto $RR$.
In particolare il dominio di $G(X)$ è tutto $RR$. Studio $G$.
Notiamo anzi tutto che $G(0)=-1$ , agli estremi del dominio di definizione si ha che $lim_(x->+\infty) G(x) = +\infty$
e $lim_(x->-\infty) G(x) = -\infty$. Da qui ho che $EE y \in RR t.c G(y)=0$
Ne studio la monotonia, ho che $AA x \in RR$ $G'(X) = e^(-x^2)+1>0 $ , duque $G$ è strettamente crescente. Da qui ho l'unicità di tale $y$.


Ho detto tante fesserie? grazie mille ragazzi

[Plepp]

Mi pare tutto ok

[Kashaman]

thanks beppe