Dimostrare che è un sottospazio vettoriale
Buonasera a tutti!...Sto studiando per l esame di algebra lineare che dovrò affrontare a gennaio e mi accorgo di avere molti dubbi...mi rivolgo a voi sperando di risolverli!
Dopo aver imparato le operazioni tra matrici (che sono sicuramente semplici) sto cercando di imparare a dimostrare se "qualcosa" è o meno uno spazio o un sottospazio vettoriale...ma proprio non capisco!...allora l esercizio in questione è questo:"Dimostrare che [x € R^4: x1+x2=0] è un sottospazio vettoriale di R^4"...questo è semplice ma incontro comunque difficoltà...potreste dirmi un procedimento universale da seguire per risolvere esercizi di questo genere?...(so bene che un sottospazio si definisce tale se soddisfa le famose tre regole "elemento nullo, somma e moltiplicazione per uno scalare")...spero di essere stata chiara..grazie in anticipo...
Dopo aver imparato le operazioni tra matrici (che sono sicuramente semplici) sto cercando di imparare a dimostrare se "qualcosa" è o meno uno spazio o un sottospazio vettoriale...ma proprio non capisco!...allora l esercizio in questione è questo:"Dimostrare che [x € R^4: x1+x2=0] è un sottospazio vettoriale di R^4"...questo è semplice ma incontro comunque difficoltà...potreste dirmi un procedimento universale da seguire per risolvere esercizi di questo genere?...(so bene che un sottospazio si definisce tale se soddisfa le famose tre regole "elemento nullo, somma e moltiplicazione per uno scalare")...spero di essere stata chiara..grazie in anticipo...
Risposte
Il procedimento "universale" è quello di verificare la definizione di sottospazio:
e cioè ogni combinazione lineare di vettori in
Cosa fare in pratica? Semplice: scegli due vettori del possibile sottospazio, facendo attenzione a rispettare le richieste. Nel tuo caso, se
allora, dovendo essere
Se indichiamo con
Ora, basta verificare che il nuovo vettore trovato (l'ultima cosa che ho scritto) soddisfi alle richieste per stare in
la condizione è verificata e quindi il vettore
[math]W\subset V[/math]
è un sottospazio di [math]V[/math]
se per ogni coppia di vettori [math]u,v\in W[/math]
e per ogni coppia di scalari [math]\alpha,\beta\in \mathbb{K}[/math]
(il campo su cui è costruito lo spazio vettoriale [math]V[/math]
) si ha che[math]\alpha\cdot u+\beta\cdot v\in W[/math]
e cioè ogni combinazione lineare di vettori in
[math]W[/math]
è ancora un vettore di [math]W[/math]
. (Qui [math]+,\ \cdot[/math]
rappresentano le operazioni di somma di vettori e prodotto tra scalare e vettore di [math]V[/math]
).Cosa fare in pratica? Semplice: scegli due vettori del possibile sottospazio, facendo attenzione a rispettare le richieste. Nel tuo caso, se
[math]u=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in W[/math]
allora, dovendo essere
[math]x_2=-x_1[/math]
si ricava che[math]u=(x_1,-x_1,x_3,x_4)\in W[/math]
Se indichiamo con
[math]v=(y_1,-y_1,y_3,y_4)\in W[/math]
un secondo vettore e con [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math]
due scalari allora[math]\alpha u+\beta v=\alpha(x_1,-x_1,x_3,x_4)+\beta(y_1,-y_1,y_3,y_4)=\\
(\alpha x_1,-\alpha x_1,\alpha x_3,\alpha x_4)+(\beta y_1,-\beta y_1,\beta y_3,\beta y_4)=\\
(\alpha x_1+\beta y_1,-\alpha x_1-\beta y_1,\alpha x_3+\beta y_3,\alpha x_4+\beta y_4)=z[/math]
(\alpha x_1,-\alpha x_1,\alpha x_3,\alpha x_4)+(\beta y_1,-\beta y_1,\beta y_3,\beta y_4)=\\
(\alpha x_1+\beta y_1,-\alpha x_1-\beta y_1,\alpha x_3+\beta y_3,\alpha x_4+\beta y_4)=z[/math]
Ora, basta verificare che il nuovo vettore trovato (l'ultima cosa che ho scritto) soddisfi alle richieste per stare in
[math]W[/math]
. In questo caso, come dicevamo, la condizione è che [math]x_2=-x_1[/math]
cioè che la seconda componente sia opposta alla prima. Poiché hai[math]-\alpha x_1-\beta y_1=-(\alpha x_1+\beta y_1)[/math]
la condizione è verificata e quindi il vettore
[math]z\in W[/math]
, per cui hai dimostrato che tale insieme è un sottospazio.
mmm capito....sei stato molto chiaro....ma mi assale un altro dubbio...R^3,R^4 cosa mi determinano nella soluzione dell esercizio?Mi spiego meglio: se al posto di R^3 ci fosse stato R^4 in cosa sarebbe cambiata la risoluzione?...
Il numero di componenti di un vettore.
[math]\mathbb{R}^n[/math]
contiene vettori formati da n componenti.
perfetto...grazie mille!
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