Dimostrare che...
1)Sia dato un insieme A di 10 numeri interi compresi fra 1 e 100.
Si dimostri che all'interno di A si possono trovare due sottoinsiemi non vuoti S, T tali che la somma degli elementi di S è uguale alla somma degli elementi di T.
L'unione di S e T non deve necessariamente essere uguale ad A.
2)Si dimostri che
a)$sum_(n=1)^(+infty)p/(n(n+1)(n+2)…(n+p))=1/(p!)$ con $p$ naturale.
b) $sum_(n=1)^(+infty)(sen(nx))/(n!)=e^(cosx)sen(senx)$.
3) Dimostrare che l’are racchiusa dalla curva $(x^2/4+y^2/9)^2=(x^2+y^2)/25$ è $39/(25)pi$.
4) Sia ABCD un quadrilatero convesso e siano K, L ,M, N i punti medi di AB, BC, CD, DA rispettivamente. Sia T l’intersezione di NL e KM. Dimostrare che $(Area(DNTM))/(Area(ABCD))<3/8$.
Si dimostri che all'interno di A si possono trovare due sottoinsiemi non vuoti S, T tali che la somma degli elementi di S è uguale alla somma degli elementi di T.
L'unione di S e T non deve necessariamente essere uguale ad A.
2)Si dimostri che
a)$sum_(n=1)^(+infty)p/(n(n+1)(n+2)…(n+p))=1/(p!)$ con $p$ naturale.
b) $sum_(n=1)^(+infty)(sen(nx))/(n!)=e^(cosx)sen(senx)$.
3) Dimostrare che l’are racchiusa dalla curva $(x^2/4+y^2/9)^2=(x^2+y^2)/25$ è $39/(25)pi$.
4) Sia ABCD un quadrilatero convesso e siano K, L ,M, N i punti medi di AB, BC, CD, DA rispettivamente. Sia T l’intersezione di NL e KM. Dimostrare che $(Area(DNTM))/(Area(ABCD))<3/8$.
Risposte
N° 3
La curva e' evidentemente simmetrica rispetto agli assi
e (quindi) rispetto all'origine.Ha un punto doppio isolato
nell'origine ( infatti le equazioni delle tangenti alla curva
in O sono le rette isotrope del piano passanti per O medesimo
di equazioni $y=+-ix) $.Da alcune condizioni di realta'
si ricavano le seguenti limitazioni:
$-(9sqrt5)/(25)<=x<=+(9sqrt5)/(25),-9/5<=y<=+9/5$
il che prova che la curva e' chiusa (immaginate una sorta di ellisse con
a ed i fianchi un po' rientrati nella direzione dell'asse x).
Per calcolarne l'area A si puo' quindi usare la formula:
(1) $A=4*[1/2int_o^((pi)/2)rho^2d theta]$
Occorre quindi trovare $rho$ in funzione di $theta$;
per questo, passando a coordinate polari nell'equazione della curva,ho:
$rho=(36)/(5(5cos^2theta+4))$
Sostituendo nella (1):
$A=2((36)/5)^2int_o^((pi)/2)1/(5cos^2theta+4)^2d theta$
Conviene porre $tantheta=t$, con che l'integrale diventa:
$A=2((36)/5)^2int_o^(oo)(1+t^2)/(4t^2+9)^2dt$
Ovvero effettuando l'integrazione;
$A=2((36)/5)^2*(13pi)/(864)=(39pi)/(25)$
L'ultimo integrale l'ho fatto con Derive,ma voi potete calcolarlo
con la sostituzione $t=3/2u$...se proprio ci tenete!!
karl
La curva e' evidentemente simmetrica rispetto agli assi
e (quindi) rispetto all'origine.Ha un punto doppio isolato
nell'origine ( infatti le equazioni delle tangenti alla curva
in O sono le rette isotrope del piano passanti per O medesimo
di equazioni $y=+-ix) $.Da alcune condizioni di realta'
si ricavano le seguenti limitazioni:
$-(9sqrt5)/(25)<=x<=+(9sqrt5)/(25),-9/5<=y<=+9/5$
il che prova che la curva e' chiusa (immaginate una sorta di ellisse con
a
Per calcolarne l'area A si puo' quindi usare la formula:
(1) $A=4*[1/2int_o^((pi)/2)rho^2d theta]$
Occorre quindi trovare $rho$ in funzione di $theta$;
per questo, passando a coordinate polari nell'equazione della curva,ho:
$rho=(36)/(5(5cos^2theta+4))$
Sostituendo nella (1):
$A=2((36)/5)^2int_o^((pi)/2)1/(5cos^2theta+4)^2d theta$
Conviene porre $tantheta=t$, con che l'integrale diventa:
$A=2((36)/5)^2int_o^(oo)(1+t^2)/(4t^2+9)^2dt$
Ovvero effettuando l'integrazione;
$A=2((36)/5)^2*(13pi)/(864)=(39pi)/(25)$
L'ultimo integrale l'ho fatto con Derive,ma voi potete calcolarlo
con la sostituzione $t=3/2u$...se proprio ci tenete!!
karl
N° 2
Adopero l'analisi discreta che nel nostro caso sembra capitare ad hoc.
Poniamo (si tratta di un simbolo):
(1) $x^((-m))=1/[(x+1)(x+2)...(x+m)$
Facendovi x=i-1,m=p+1 risulta:
$(i-1)^(-(p+1))=1/[i(i+1)(i+2)...(i+p)]$
E così la nostra sommatoria,fermata al termine ennesimo,diventa:
$S_n=p*sum_(i=1)^n(i-1)^(-(p+1))$
Ora tale somma,in analogia alle somme di infiniti infinitesimi della
analisi infinitesimale,si calcola in modo analogo e precisamente:
$S_n=p*[(i-1)^((-p))/(-p)]_1^(n+1)$
(notare come il limite superiore del calcolo sia stato aumentato di una unita')
Facendo i passaggi come nel calcolo integrale, ne viene che:
$S_n=-n^((-p))+0^((-p))$
ed applicando nuovamente la (1):
$S_n=-1/[(n+1)(n+2)...(n+p)]+1/[(0+1)(0+2)...(0+p)]$
Infine passando al limite per $n->oo$ si trae appunto:
$S=1/(p!)$
karl
Adopero l'analisi discreta che nel nostro caso sembra capitare ad hoc.
Poniamo (si tratta di un simbolo):
(1) $x^((-m))=1/[(x+1)(x+2)...(x+m)$
Facendovi x=i-1,m=p+1 risulta:
$(i-1)^(-(p+1))=1/[i(i+1)(i+2)...(i+p)]$
E così la nostra sommatoria,fermata al termine ennesimo,diventa:
$S_n=p*sum_(i=1)^n(i-1)^(-(p+1))$
Ora tale somma,in analogia alle somme di infiniti infinitesimi della
analisi infinitesimale,si calcola in modo analogo e precisamente:
$S_n=p*[(i-1)^((-p))/(-p)]_1^(n+1)$
(notare come il limite superiore del calcolo sia stato aumentato di una unita')
Facendo i passaggi come nel calcolo integrale, ne viene che:
$S_n=-n^((-p))+0^((-p))$
ed applicando nuovamente la (1):
$S_n=-1/[(n+1)(n+2)...(n+p)]+1/[(0+1)(0+2)...(0+p)]$
Infine passando al limite per $n->oo$ si trae appunto:
$S=1/(p!)$
karl
3) Riporto anche la mia soluzione, sicuramente meno completa di quella di karl.
Ho dato per scontato che la curva fosse chiusa, a questo punto ho eseguito il cambiamento di variabili
$x=2rhocostheta$
$y=3rhosentheta$
la curva assume la forma $rho=sqrt(5sen^2theta+4)/5$
Pertanto l'area A è data da
$A=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(5sen^2theta+4)/5)|detJ|drhod(theta)=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(5sen^2theta+4)/5)6rho*drhod(theta)=3/(25)int_0^(2pi)(5sen^2theta+4)d(theta)=(39)/(25)pi$.
2) Ammetto di aver trovato l'esercizio già svolto... Comunque sia è ottima la soluzione di karl!
Si ha $p/(n(n+1)(n+2)...(n+p))=(p+n-n)/(n(n+1)(n+2)...(n+p))=1/(n(n+1)(n+2)...(n+p-1))-1/((n+1)(n+2)...(n+p))$.
Pertanto
$S_n=sum_(n=1)^n(1/(n(n+1)(n+2)...(n+p-1))-1/((n+1)(n+2)...(n+p)))=1/(p!)-1/((n+1)(n+2)...(n+p))$
e passando al limite si ha la tesi.
A questo punto rimane la serie b), pensare alla formula di Eulero $e^(ix)=cosx+isenx$...
Infine rimangono gli esercizi 1) e 4) quelli più facili...
Ho dato per scontato che la curva fosse chiusa, a questo punto ho eseguito il cambiamento di variabili
$x=2rhocostheta$
$y=3rhosentheta$
la curva assume la forma $rho=sqrt(5sen^2theta+4)/5$
Pertanto l'area A è data da
$A=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(5sen^2theta+4)/5)|detJ|drhod(theta)=int_0^(2pi)int_0^(sqrt(5sen^2theta+4)/5)6rho*drhod(theta)=3/(25)int_0^(2pi)(5sen^2theta+4)d(theta)=(39)/(25)pi$.
2) Ammetto di aver trovato l'esercizio già svolto... Comunque sia è ottima la soluzione di karl!
Si ha $p/(n(n+1)(n+2)...(n+p))=(p+n-n)/(n(n+1)(n+2)...(n+p))=1/(n(n+1)(n+2)...(n+p-1))-1/((n+1)(n+2)...(n+p))$.
Pertanto
$S_n=sum_(n=1)^n(1/(n(n+1)(n+2)...(n+p-1))-1/((n+1)(n+2)...(n+p)))=1/(p!)-1/((n+1)(n+2)...(n+p))$
e passando al limite si ha la tesi.
A questo punto rimane la serie b), pensare alla formula di Eulero $e^(ix)=cosx+isenx$...
Infine rimangono gli esercizi 1) e 4) quelli più facili...
Il 2a), volendo suicidarsi, lo si può fare anche per induzione su p... così giusto per informazione...
Dato che nessuno risponde...
Il N°1 penso vada fatto col principio dei cassetti ,principio che
odio...leggermente ( non ne nego l'importanza!).Lascio quindi
ad altri l'incombenza.
N° 4
Poiche' LM e KN sono paralleli a BD e ciascuno la meta' di quest'ultimo,
segue che KLMN e' un parallelogramma.Inoltre dal parallelismo di LM con BD
e di MN con AC si deduce che angolo(LMN) e angolo(tra AC e BD) o sono
congruenti o sono supplementari.Pertanto L'area di KLMN e' 1/2 dell'area
di ABCD.
Poiche' il triangolo MND e' simile ad ACD risulta:
(1) $[MND]=1/4[ACD]<1/4[ABCD]$
Osserviamo ora che e' anche:
(2) $[MNT]=1/4[KLMN]=1/8[ABCD]$
Sommando (1) e (2) si ha la tesi.
karl
Il N°1 penso vada fatto col principio dei cassetti ,principio che
odio...leggermente ( non ne nego l'importanza!).Lascio quindi
ad altri l'incombenza.
N° 4
Poiche' LM e KN sono paralleli a BD e ciascuno la meta' di quest'ultimo,
segue che KLMN e' un parallelogramma.Inoltre dal parallelismo di LM con BD
e di MN con AC si deduce che angolo(LMN) e angolo(tra AC e BD) o sono
congruenti o sono supplementari.Pertanto L'area di KLMN e' 1/2 dell'area
di ABCD.
Poiche' il triangolo MND e' simile ad ACD risulta:
(1) $[MND]=1/4[ACD]<1/4[ABCD]$
Osserviamo ora che e' anche:
(2) $[MNT]=1/4[KLMN]=1/8[ABCD]$
Sommando (1) e (2) si ha la tesi.
karl
"karl":
Il N°1 penso vada fatto col principio dei cassetti ,principio che
odio...leggermente ( non ne nego l'importanza!).Lascio quindi
ad altri l'incombenza.
Già... anch'io lascio ad altri l'incombenza, anche se non lo odio
... dai su... qualcuno lo faccia !!
Certo che calcolare gli integrali di funzioni non esplicitabili è veramente un "casino" (concedetemi il termine)......esistono delle tecniche che permettono di agevolare il calcolo?
Alexp
Alexp
@Alexp non lo so...
1) Effettivamente si deve applicare il principio dei cassetti.
I sottoinsiemi di A sono $2^10=1024$, la somma degli elementi di un sottoinsieme varia da un minimo di 0 (nel caso dell'insieme vuoto) a un massimo di 955 ( quando sommo 91 + 92 + ... + 100). Pertanto essendo il numero dei sottoinsiemi maggiore del numero delle possibili somme, esisteranno sottoinsiemi i cui elementi hanno la stessa somma.
1) Effettivamente si deve applicare il principio dei cassetti.
I sottoinsiemi di A sono $2^10=1024$, la somma degli elementi di un sottoinsieme varia da un minimo di 0 (nel caso dell'insieme vuoto) a un massimo di 955 ( quando sommo 91 + 92 + ... + 100). Pertanto essendo il numero dei sottoinsiemi maggiore del numero delle possibili somme, esisteranno sottoinsiemi i cui elementi hanno la stessa somma.
va bè... ma mica doveva farlo il propositore ... o forse hai fatto bene, magari nessuno avrebbe risposto... mah...
faccio il 2b) allora, se no fà tutto karl
...
si complessifica la serie notando che:
$(sen(nx))/(n!)=Im(e^(ixn)/(n!))$
la serie complessificata si può vedere come lo sviluppo in serie di $e^(e^(ix))$... prendendo la parte di questa immaginaria si ha il risultato voluto...
... o forse hai fatto bene, magari nessuno avrebbe risposto... mah...faccio il 2b) allora, se no fà tutto karl
...si complessifica la serie notando che:
$(sen(nx))/(n!)=Im(e^(ixn)/(n!))$
la serie complessificata si può vedere come lo sviluppo in serie di $e^(e^(ix))$... prendendo la parte di questa immaginaria si ha il risultato voluto...
In effetti hai ragione Thomas...
Rimedio subito proponendone un altro!
Utilizzando il principio dei cassetti dimostrare che in un qualunque gruppo di 12 numeri naturali se ne trovano 2 la cui differenza è divisibile per 11.
Rimedio subito proponendone un altro!
Utilizzando il principio dei cassetti dimostrare che in un qualunque gruppo di 12 numeri naturali se ne trovano 2 la cui differenza è divisibile per 11.
"Piera":
In effetti hai ragione Thomas...
Rimedio subito proponendone un altro!
Utilizzando il principio dei cassetti dimostrare che in un qualunque gruppo di 12 numeri naturali se ne trovano 2 la cui differenza è divisibile per 11.
forse intendi dodici naturali distinti? Altrimenti prendo il gruppo 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ....
EDIT: ah ok, 11|0 . Usualmente non si usa | sullo zero ma è correttissimo
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo