Dimostrare che ...

[dennysmathprof]

seabbiamo [tex]f(x)=\sqrt{e^x-x-1}[/tex],vogliamo dimostrare
\[
e-1 \leq \int_{1}^{e}{f(t)dt} \]

grazie

[kobeilprofeta]

in [1,e] la f è sempre crescente
dunque ha min in 1 e max in e
$f(1)=sqrt(e-2)$ and $f(e)=sqrt(e^e-e-1)$
ho $e-1
ho scritto che l'integrale è compreso tra le somme inferiori e quelle superiori

[Gi81]

Non è vero che $e-1 Infatti $sqrt(e-2)= 0.8475...$

invece l'altra va bene:
$f$ è strettamente crescente su $[1,e]$
$f(e)= sqrt(e^e-e-1) ~ 3.3817 => f(e)<3.4$
$e-1 ~ 1.718 => e-1<2$
$e^2-1/2 ~ 6.889 => e^2 -1/2 >6.8$

Dunque $int_1^e f(t) dt < int_1^e f(e) dt <3.4 int_1^e dt = 3.4 * (e-1)<3.4*2= 6.8

Cita

Segnala

[dan952]

Se i conti son giusti...
Poiché $e^x-x-1=x^2/2+o(x^2)$, quindi $\frac{√2x}{2} \leq \sqrt(e^x-x-1)$, integrando si ha
$e-1<(e-1)\underbrace{\frac{e+1}{2√2}}_{>1}=\frac{√2}{2}\int_{1}^{e}xdx \leq \int_{1}^{e}\sqrt(e^x-x-1)dx$