Dimostrare 2^n>=n+1 con il principio dell'induzione?

[diamante911]

Dimostrare 2^n>=n+1 con il principio dell'induzione
con il passo base n=0 viene
ma con la ipotesi induttiva mi viene
2^(n+1)=2*2^n>=2n>=n+1
Ma 2n>=n+1
vale solo per n>=1
Quindi risulterebbe che il passo base e' n=1?
Perche nel primo passo base mi viene, mentre la dimostrazione per induzione mi dice tutt'altra cosa?
Fra 0 e 1 ci sarebbe solo un +1 comunque no? Quindi in teoria dovrebbe essere vera per tutti i n appartenenti a N, invece con la dimostrazione dice che deve essere n>=1
sto facendo un po di confusione, qualcuno puo' aiutarmi?

[Rigel1]

"diamante91":Dimostrare 2^n>=n+1 con il principio dell'induzione
con il passo base n=0 viene
ma con la ipotesi induttiva mi viene
2^(n+1)=2*2^n>=2n>=n+1

Quando usi l'ipotesi induttiva hai
\[
2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2\cdot (n+1) = 2n + 2 \geq n+2\qquad \forall n\geq 0.
\]

[diamante911]

"Rigel":[quote="diamante91"]Dimostrare 2^n>=n+1 con il principio dell'induzione
con il passo base n=0 viene
ma con la ipotesi induttiva mi viene
2^(n+1)=2*2^n>=2n>=n+1

Quando usi l'ipotesi induttiva hai
\[
2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2\cdot (n+1) = 2n + 2 \geq n+2\qquad \forall n\geq 0.
\][/quote]

Scusa l'ipotesi e' 2^n>=n, ho sbagliato a scrivere

[Rigel1]

"diamante91":Scusa l'ipotesi e' 2^n>=n, ho sbagliato a scrivere

Beh, se dimostri che \(2^n\geq n+1\) è solo meglio, no?
Se proprio vuoi intignare con l'altra, hai due possibilità:
1) osservi che vale per \(n=0\) e \(n=1\), poi dimostri per induzione che vale per ogni \(n\geq 1\);
2) nella dimostrazione precedente, osservi che \(2\cdot 2^n = 2 > 1\) se \(n=0\), mentre \(2\cdot 2^n \geq 2n \geq n\) (usando l'ipotesi di induzione) per ogni \(n\geq 1\).