Dimonstrazione sottospazio vettoriale
V e W sono spazi vettoriali e T : V --> W è un operatore lineare. N è un sottospazio di W. Dimostrare
che l'insieme M delle controimmagini di N, cioè M = (v appartenente a V : Tv appartenente a N), è un sottospazio di V .
Questo è la copia di un quesito di un problem set, mi potete dare dei consigli su come iniziare. Io non so se qui occorre utilizzare il teorema di rappresentazione degli operatori lineari oppure concentrarsi sui sottospazi cercando un teorema (dei sottospazi) da adattare questo esercizio
che l'insieme M delle controimmagini di N, cioè M = (v appartenente a V : Tv appartenente a N), è un sottospazio di V .
Questo è la copia di un quesito di un problem set, mi potete dare dei consigli su come iniziare. Io non so se qui occorre utilizzare il teorema di rappresentazione degli operatori lineari oppure concentrarsi sui sottospazi cercando un teorema (dei sottospazi) da adattare questo esercizio
Risposte
Questa è una domanda di algebra lineare e, come tale, va nella sezione apposita (Geometria e Algebra Lineare) 
Comunque, devi dimostare che per ogni $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ (dove $\mathbb{K}$ è il campo su cui stai considerando gli spazi vettoriali) e per ogni $v, w \in M$ allora si ha che $\alpha v + \beta w \in M$.
Ma cosa significa che $v,w \in M$? Significa che $T(v), T(w) \in N$. Sai continuare da qui?
Comunque, devi dimostare che per ogni $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ (dove $\mathbb{K}$ è il campo su cui stai considerando gli spazi vettoriali) e per ogni $v, w \in M$ allora si ha che $\alpha v + \beta w \in M$.
Ma cosa significa che $v,w \in M$? Significa che $T(v), T(w) \in N$. Sai continuare da qui?
Ad essere sinceri no, premetto che io conosco solo tre dimostrazioni su questi argomenti: quello del teorema di rappresentazione (per gli operatori lineari), il teorema dell'intersezione di più sottospazi vettoriali e caratterizzazione di un sottospazio vettoriale generato mediante combinazione lineare. Devo fare un miscuglio tra questi teoremi?
No, non devi fare nessun miscuglio. Tu vuoi dimostare che $v, w \in M \implies \alpha v +\beta w \in M$. Ma questo è equivalente a dimostare (per la definizione di $M$) che $\T(v), T(w) \in N \implies T(\alpha v + \beta W) \in N$. E' vero questo?
Si, fino a qui ci sono, quindi in poche parole basta dimostrare (utilizzando il teorema della caratterizzazione mediante la rispetto alle combinazioni lineari) che T(v) e T(w) sono sottospazi vettoriali?
$T(v)$ e $T(w)$ non sono sottospazi, sono soltanto degli elementi. Quell'implicazione, piuttosto, è vera perché $N$ è un sottospazio vettoriale e perché $T$ è lineare.
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