Dimensione della soluzione di una equazione differenziale
Ciao, ho un dubbio riguardo un equazione differenziale del secondo ordine
Mi chiede se è vero o falso che la soluzione di $x''-3x'+x^2=0$ ha dimensione 2 e nel caso dimostrarlo
So che l'insieme delle soluzioni di un equazione omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione n
quindi se io avessi $x''-3x'+x=0$ risolverei e otterrei come soluzioni $c_1*e^(((3+sqrt52)/2)t)+c_2*e^(((3-sqrt52)/2)t)$ questo basterebbe per dimostrare che ha dim2?
Nel caso iniziale, in cui l'equazione differenziale è non lineare come mi comporto?
Mi chiede se è vero o falso che la soluzione di $x''-3x'+x^2=0$ ha dimensione 2 e nel caso dimostrarlo
So che l'insieme delle soluzioni di un equazione omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione n
quindi se io avessi $x''-3x'+x=0$ risolverei e otterrei come soluzioni $c_1*e^(((3+sqrt52)/2)t)+c_2*e^(((3-sqrt52)/2)t)$ questo basterebbe per dimostrare che ha dim2?
Nel caso iniziale, in cui l'equazione differenziale è non lineare come mi comporto?
Risposte
Tecnicamente dovresti controllare il wronskiano.
"Magma":
Tecnicamente dovresti controllare il wronskiano.
quindi calcolo il Wronskiano e se è diverso da zero posso dire che ha dimensione 2, giusto?
e nel caso di una equazione non lineare?
L'equazione non è lineare, dunque le soluzioni non formano uno spazio vettoriale.
Ne consegue che è del tutto privo di senso chiedere che "dimensione" abbia l'insieme delle soluzioni.
Ne consegue che è del tutto privo di senso chiedere che "dimensione" abbia l'insieme delle soluzioni.
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