Dimensione dei sottospazi immagine e nucleo
Un altro esercizio del quale avrei bisogno di una conferma circa la sua correttezza:
"Data la funzione lineare $ f(x,y,z)=x^2+3y^2+3z^2-2xz+4xy $, determinane l'insieme di definizione e quello di arrivo. Calcola la dimensione dei sottospazi $ Im[f] $ e $ Ker[f] $ ed una loro base".
La funzione è $ f:R^3->R^3 $ che sono, rispettivamente, insieme di definizione e di arrivo.
La matrice simmetrica associata alla forma quadratica è $ A=[ ( 1 , 2 , -1 ),( 2 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) ] $ .
Il determinante della matrice è diverso da 0, per cui $ dim(Im[f]) = R(A) = 3$ e $ Ker[f]={: [( (1 , 2 , -1) ),( 2 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) :}] $.
Applicando il teorema della dimensione vedo che $ dim(Ker[f])=3-3=0 $, per cui essendo la dimensione dell'immagine del nucleo pari a 0 non ha senso cercare una sua base.
"Data la funzione lineare $ f(x,y,z)=x^2+3y^2+3z^2-2xz+4xy $, determinane l'insieme di definizione e quello di arrivo. Calcola la dimensione dei sottospazi $ Im[f] $ e $ Ker[f] $ ed una loro base".
La funzione è $ f:R^3->R^3 $ che sono, rispettivamente, insieme di definizione e di arrivo.
La matrice simmetrica associata alla forma quadratica è $ A=[ ( 1 , 2 , -1 ),( 2 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) ] $ .
Il determinante della matrice è diverso da 0, per cui $ dim(Im[f]) = R(A) = 3$ e $ Ker[f]={: [( (1 , 2 , -1) ),( 2 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) :}] $.
Applicando il teorema della dimensione vedo che $ dim(Ker[f])=3-3=0 $, per cui essendo la dimensione dell'immagine del nucleo pari a 0 non ha senso cercare una sua base.
Risposte
"dino!":
Ker[f]=[(12−1),(2,3,0),(−1,0,3)]
è l'immagine che essendo generata da questi tre vettori che sono tra loro indipendenti ha come base l'insieme formato dai tre.
"dino!":
per cui essendo la dimensione dell'immagine
è la dimensione del nucleo. e si non ha senso cercarne una base in questo caso.
Ora che guardo meglio l'esercizio ne esce falsato perché la componente $ yz $, nonostante fosse 0, l'ho considerata pari a 3 nel calcolo del determinante. 
Comunque svolgendo correttamente si sarebbe trovata, per l'immagine, una dimensione pari a 2 e una generica base composta dai vettori (1,2,-1) e (2,3,0), mentre per il nucleo si trova una dimensione pari ad 1 e applicando rochè-capelli al minore estratto una base pari a (1, -2/3, 1/3).
Comunque svolgendo correttamente si sarebbe trovata, per l'immagine, una dimensione pari a 2 e una generica base composta dai vettori (1,2,-1) e (2,3,0), mentre per il nucleo si trova una dimensione pari ad 1 e applicando rochè-capelli al minore estratto una base pari a (1, -2/3, 1/3).
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