Dimensione codominio di una funzione vettoriale

[BullDummy]

Vi chiedo anticipatamente scusa perchè credo che la mia domanda sia stupida. Però visto che proprio non riesco a venirne a capo la espongo lo stesso. Immaginiamo di avere una funzione vettoriale $ F:X\rarrY $, dove X e Y sono spazi di vettori di un certo numero di componenti reali, diciamo $ N $. Siccome qualunque vettore di $ N $ componenti reali può essere rappresentato tramite la base canoninca di $ \mathbb(R) ^ N $, mi verrebbe da dire che la dimensione del codominio $ Y $ è $ N $. D'altra parte, però, se $ F $ ammette uno sviluppo di Taylor con infiniti termini non nulli, e considerando che i vari termini dovrebbero contenere le componenti di una base di rappresentazione, qui mi verrebbe da dire che il codominio è a infinite dimensioni. Come risolvo questo dilemma?

[gugo82]

Semplicemente, stai confondendo le cose.

Innanzitutto, una funzione vettoriale ha uno sviluppo di Taylor vettoriale (componente per componente); poi, confondi la dimensione dello spazio di arrivo, i.e. dei vettori immagine $F(x)$, con la dimensione dello spazio funzionale in cui vivono come elementi le varie componenti di $F$.

[fmnq]

Ma $F$ è lineare?