Dimastrare che f(x,y) ha un minimo in P, senza derivare

[konan91]

f(x,y)=sin(x*x+y*y)-cos(x-y) P=(0,0,-1)

Sono riuscito a dimostrare chè è sempre >=-1 però non mi torna qualcosa quindi vi posto la mia dimostrazione in attesa di un vostro consiglio:

$|f(x,y)|=|sin(x^2+y^2)-cos(x-y)|>=|sin(x^2+y^2)|-|cos(x-y)|>=-|cos(x-y)|>=-1$

Però il fatto è che prendendo la funzione in modulo banalmente deve essere sempre >-1 quindi non penso valga come dimostrazione.Che mi dite?

[rino6999]

non va bene per la ragione da te detta

prendiamo l'intorno
$I={(x,y)\in R^2 : x^2+y^2<\pi}$
in I $\forall (x,y) != (0,0) ,f(x,y) > -1 $

[konan91]

Perchè hai preso un disco di raggio $pi$ non è troppo grosso?Comunque non ho capito bene se mi vuoi aiutare con quello che hai scritto, è la formulazione di minimo locale.

[rino6999]

è troppo grosso per cosa ?
mica dobbiamo trasportarlo?
quanto al resto,ho applicato la definizione di minimo relativo

[konan91]

Beh un intorno in genere è qualcosa di piccolo, $pi$ è un numero diciamo grosso, si potrebbe sempre pensare che in un intorno così grosso cada un altro minimo, magari assoluto (questo non è il caso).Comunque tralasciando cio' non so proprio da dove partire, la definizione che mi hai dato non mi aiuta tanto, cioè dovrei dimostrare che in quell'intorno tutti i valori sono >-1 però non mi viene in mente niente

[rino6999]

tieni d'occhio la funzione
ho preso questo intorno proprio per mettere in evidenza che lì il seno è maggiore o uguale di 0,il coseno ovviamente non supera 1 e quindi la funzione è maggiore o uguale di -1
è chiaro che ciò vale anche in un qualsiasi intorno contenuto in I

[konan91]

E' vero bastava fare una considerazione sulla grandezza dell'intorno in effetti.Ti ringrazio a forza di cercarlo algebricamente non ho neanche visto quello che avevo davanti.