Dim.: una funzione continuia è limitata in un intorno

[Ghezzabanda]

Ciao ragazzi, dovrei dimostrare che una funzione continua in $x_0$ è, in un determinato Intorno di $x_0$, limitata!

come posso fare?

Mi è venuta un'idea! Ditemi se sbaglio qualcosa:
$f$ continua in $x_o rArr AA eta > 0 EE Delta AAx in RR |`$x-x_0$`|
Chiaramente $f(x)-f(x_0) <=|`$f(x)-f(x_0)$`| rArr f(x)-f(x_0) <= eta rArr f(x)<= eta +f(x_0) := M rArr f(x)<= M AA x$
Quindi ho dimostrato che per un $Delta$-intorno di $x_0$ la funzione è limitata!

Sbaglio qualcosa o era veramente così semplice?

[amel3]

Direi che è giusto, in effetti è semplice...

[Dust1]

"Ghezzabanda":
$f$ continua in $x_o rArr AA eta > 0 EE Delta AAx in RR |`$x-x_0$`|
Chiaramente $f(x)-f(x_0) <=|`$f(x)-f(x_0)$`| rArr f(x)-f(x_0) <= eta rArr f(x)<= eta +f(x_0) := M rArr f(x)<= M AA x$

Credo che dal 2° passaggio tu possa utilizzare il $<$ stretto

Quindi ho dimostrato che per un $Delta$-intorno di $x_0$ la funzione è limitata!

Un'altra cosa: da questo tu hai dimostrato solo la limitazione superiore, o sbaglio?

Aspettiamo di vedere che dicono i saggi del 4um
ps: grazie, la dim serviva anche a me!

[Ghezzabanda]

"Dust":[quote="Ghezzabanda"]
$f$ continua in $x_o rArr AA eta > 0 EE Delta AAx in RR |`$x-x_0$`|
Chiaramente $f(x)-f(x_0) <=|`$f(x)-f(x_0)$`| rArr f(x)-f(x_0) <= eta rArr f(x)<= eta +f(x_0) := M rArr f(x)<= M AA x$

Credo che dal 2° passaggio tu possa utilizzare il $<$ stretto

Quindi ho dimostrato che per un $Delta$-intorno di $x_0$ la funzione è limitata!

Un'altra cosa: da questo tu hai dimostrato solo la limitazione superiore, o sbaglio?

Aspettiamo di vedere che dicono i saggi del 4um
ps: grazie, la dim serviva anche a me! [/quote]

in effetti hai ragione! Dovrei dimostrare che è limitata inferiormente, ma non dovrebbe essere così difficile! Vediamo ...
$|`$f(x)-f(x_0)$`|=|`$f(x)+(-f(x_0))$`|<=|`$f(x)$`|+|`$-f(x_0)$`|=|`$f(x)$`|+|`$f(x_0)$`|$ Selgo $eta$ così che $|`$f(x)$`|+|`$f(x_0)$`|<=|`$f(x)$`|+|`$f(x_0)$`|
Così facendo dimostrerei che è limitata sia superiormente che inferiormente in un sol colpo! Però non sono sicurissimo che sia corretto! (soprattuo quel passaggio dove scelgo $eta$, dato che io dalla definizione di continuità solo colo che $|`$x-x_0$`|

Cita

Segnala

[Fioravante Patrone1]

$\eta$ (quello che tutti chiamano $\epsilon$...) lo scegli tu a tuo piacimento: la proprietà vale per ogni $\eta$...



per le limitazioni da sopra e da sotto:

$|f(x)-f(x_0)| < \eta$

è come dire:

$f(x_0) - \eta < f(x) < f(x_0) + \eta$


l'idea è buona, funge
ed è effettivamente facile, dopo che uno l'ha fatto


uno dei "saggi"(????????) del 4um

[Dust1]

"Fioravante Patrone":

uno dei "saggi"(????????) del 4um

Esperti è più professionale?