Dim se funzione appartiene a L1 o a L2

[TheFuture]

Ciao a tutti, ho un problema con il dimostrare se una funzione appartiene o meno a L1 o a L2. Non so proprio come fare. Qualcuno mi sa dare una mano?
grazie

[clrscr]

Intanto dipende se si sta lavorando con funzioni definite in un intervallo finito o meno. Nel primo caso basta dimostrare l'appartenenza a $L^2(E)$ il che implica anche l'appartenenza a L^1(E).
Nel secondo caso dipende da funzione a funzione.....

[elgiovo]

Devi calcolare $int_(Omega) |f|$ e $(int_(Omega)|f|^2)^(1/2)$ e verificare che siano finiti, risp. per l'appartenenza a $L^1(Omega)$ e $L^2(Omega)$. Quello che dice clrscr ti aiuta ad evitare conti nel caso in cui $|Omega|

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[TheFuture]

grazie ad entrambi per le risposte.
No non ho a che fare con funzioni definite su un intervallo.
I due integrali li calcolo tra + e - infinito o solo tra 0 e + infinito visto che c'è il modulo?
grazie ancora!

[_prime_number]

"TheFuture":grazie ad entrambi per le risposte.
No non ho a che fare con funzioni definite su un intervallo.
I due integrali li calcolo tra + e - infinito o solo tra 0 e + infinito visto che c'è il modulo?
grazie ancora!

Probabilmente è sottointeso $RR$ o qualche altro insieme.
Devi calcolare tra $- \infty$ e $+\infty$, anche se c'è il valore assoluto non è detto che la funzione sia simmetrica rispetto all'asse y (caso in cui puoi fare come dici tu).

Anche se elgiovo ha già precisato, mi raccomando l'appartenenza ad $L^1$ è implicata da quella a $L^2$ solo se l'insieme su cui è definita la funzione ha misura finita!

Paola

[TheFuture]

scusa, ma ho ancora qualche dubbio. Per esempio come dimostro se questa funzione appartiene a L1 o a L2?
$f(t)={t^2}/{t^4+1}$

grazie

[elgiovo]

Verifichi $int_(RR)|(t^2)/(t^4+1)|dt

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[TheFuture]

perfetto! grazie 1000!!!!!!

[Camillo]

"elgiovo":Verifichi $int_(RR)|(t^2)/(t^4+1)|dt

Nel secondo integrale bisogna che il modulo sia elevato al quadrato.

[gugo82]

"Camillo":[quote="elgiovo"]Verifichi $int_(RR)|(t^2)/(t^4+1)|dt
Nel secondo integrale bisogna che il modulo sia elevato al quadrato.[/quote]
E si può anche fare a meno dell'esponente "esterno" $1/2$...

Ad ogni modo, l'appartenenza della tua funzione ad $L^1(RR)$ ed $L^2(RR)$ è immediata conseguenza del criterio di sommabilità che si insegna in Analisi I (per intenderci, quello che chiede di verificare l'ordine di infinitesimo dell'integrando in $pm oo$) e dell'uguaglianza tra l'integrale di Riemann e di quello di Lebesgue per le funzioni continue e Riemann-integrabili; inoltre, con tali strumenti, puoi provare addirittura che $f in L^p(RR)$ per ogni $p in ]1/2,+oo]$.

[elgiovo]

"Camillo":[quote="elgiovo"]Verifichi $int_(RR)|(t^2)/(t^4+1)|dt

Nel secondo integrale bisogna che il modulo sia elevato al quadrato.[/quote]

Certo. Altrimenti $L^1(R)=L^2(R)$