Dim. : Passaggio a limite sotto il segno di derivata

[Denny8x]

mi sono imbattuto nella dimostrazione di questo teorema :

Supponiamo che la
successione di funzioni $ f_h : I /to R$ converga puntualmente in I alla funzione f, che le fh
siano tutte derivabili in I con derivate prime continue, e ch(e la successione $ f_h$ converga
uniformemente in I alla funzione g. Allora la funzione f è derivabile in I, la sua derivata
è g, e la successione ($ f_h$ ) converge uniformemente ad f in ogni intervallo chiuso e limitato
[a, b] $sub$ I

la parte che non riesco a dimostrare è quella in rosso , on line ho trovato delle dispense con questa dimostrazione ma non mi è chiara

$lim_(h->infty)$ sup$._{ainfty)$ sup$._{a
avete qualche idea in merito? grazie 1000

[gugo82]

L'enunciato corretto è il seguente:

Sia $(f_h)$ una successione di funzioni definite in un intervallo $I subseteq RR$ a valori in $RR$ ed ivi derivabili.
Se $(f_h)$ converge puntualmente in $I$ e se la successione delle derivate $(f'_h)$ converge uniformemente in $I$, allora $(f_h)$ converge uniformemente sui compatti contenuti in $I$ ed il limite $f$ è una funzione derivabile in $I$ che ha per derivata il limite uniforme della successione $(f'_h)$; in simboli:

$f_h to f " puntualmente ed " f'_h \to g " uniformemente" quad => quad f_h to f " uniformemente sui compatti di " I " ed " f'=g$.

Per la dimostrazione basta applicare il Teorema di Lagrange.
Fissati $a,b in I$ in modo che $[a,b] subseteq I$, comunque scegli $x in [a,b]$ puoi determinare per il Teorema di Lagrange un punto $xi in [a,x]$ tale che

$|f_h(x)-f_k(x)|le |[f_h(x)-f_k(x)]-[f_h(a)-f_k(a)]|+|f_h(a)-f_k(a)|le |f'_h(xi)-f'_k(xi)|*(x-a)+|f_h(a)-f_k(a)|le ||f'_h-f'_k||_(oo,[a,b])*(b-a)+|f_h(a)-f_k(a)|$

ove $||f'_h-f'_k||_(oo, [a,b])="sup"_([a,b]) |f'_h-f'_k|$; dato che l'ultimo membro della precedente non dipende dalla scelta di $x in [a,b]$, possiamo passare il primo membro all'estremo superiore su $[a,b]$ e scrivere:

$||f_h-f_k||_(oo,[a,b])le ||f'_h-f'_k||_(oo,[a,b])*(b-a)+|f_h(a)-f_k(a)|$.

Visto che $(f_h)$ converge in $a in I$, la successione numerica $(f_h(a))$ è di Cauchy in $RR$ e perciò, fissato $epsilon>0$, è possibile determinare $lambda in NN$ tale che per $h,k ge lambda$ si abbia $|f_h(a)-f_k(a)| Ne consegue che, prendendo $nu =max{lambda,mu}$, si ha:

$||f_h-f_k||_(oo,[a,b]) < epsilon/(2*(b-a))*(b-a)+epsilon/2=epsilon$

per cui $(f_h)$ converge uniformemente in $[a,b]$.