Dim. olomorfia della trasformata Laplace
Buonasera a tutti!
Sono incappato in un passo del mio testo dove si osserva che la trasformata di laplace è olomorfa nella striscia di convergenza, senza però ombra di dimostrazione nè chiarimento..
così vi chiedo: c'è qualche considerazione ovvia da fare, che al momento mi sfugge, per dimostrare questa proprietà?
o bisogna semplicemente verificare che sia di classe $C^1$ e che rispetti le condizioni di Cauchy-Riemann? Perchè in tal caso vi posto il mio procedimento, sperando abbiate la pazienza di verificarne la correttezza:
avendo necessità di derivare sotto il segno di integrale applico il teorema di Lebesgue della convergenza dominata:
chiamando $S$ la striscia di convergenza della trasformata le ipotesi sono:
1) $AA s in S$ la funzione che a $t->x(t)e^(-st)$ deve essere misurabile secondo Lebesgue in $RR$
2) per q.o. $t in RR$ la funzione che ad $s->x(t)e^(-st)$ deve essere continua
3)$EE g(t)$ sommabile in $RR$ tale che $ |x(t)e^(-st)|<=g(t)$ per q.o. $t in RR$ e $AA s in S$
4)per q.o. $t in RR$ la funzione $s->x(t)e^(-st)$ è derivabile
5)$ |\partial/(\partials)x(t)e^(-st)|<=g(t)$
1) è verificata in quanto lavoriamo proprio laddove l'integrale è finito, quindi la funzione è misurabile.
2)$lim_(s->s_0)x(t)e^(-st)=x(t)lim_(s->s_0)e^(-st)=x(t)e^(-s_0t) AA s in S$
3)$g(t)={(x(t)e^(-\sigma_1t), if t>=0 ),(x(t)e^(-\sigma_1t), if t<0):}$, $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono le ascisse di convergenza
4)ovvio
5)ehm.. boh??
potendo quindi "derivare dentro all'integrale" scrivo:
$\partial/(\partialx)ccL[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$
$1/i\partial/(\partialy)ccL[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$
quindi la trasformata verifica le condizioni di Cauchy-Riemann.
Inoltre è di classe $C^1$, poichè $ccL'[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$ e l'integrale è continuo (potendo di nuovo applicare il T. della convergenza dominata)
Scusate l'eccessiva lunghezza
Sono incappato in un passo del mio testo dove si osserva che la trasformata di laplace è olomorfa nella striscia di convergenza, senza però ombra di dimostrazione nè chiarimento..
così vi chiedo: c'è qualche considerazione ovvia da fare, che al momento mi sfugge, per dimostrare questa proprietà?
o bisogna semplicemente verificare che sia di classe $C^1$ e che rispetti le condizioni di Cauchy-Riemann? Perchè in tal caso vi posto il mio procedimento, sperando abbiate la pazienza di verificarne la correttezza:
avendo necessità di derivare sotto il segno di integrale applico il teorema di Lebesgue della convergenza dominata:
chiamando $S$ la striscia di convergenza della trasformata le ipotesi sono:
1) $AA s in S$ la funzione che a $t->x(t)e^(-st)$ deve essere misurabile secondo Lebesgue in $RR$
2) per q.o. $t in RR$ la funzione che ad $s->x(t)e^(-st)$ deve essere continua
3)$EE g(t)$ sommabile in $RR$ tale che $ |x(t)e^(-st)|<=g(t)$ per q.o. $t in RR$ e $AA s in S$
4)per q.o. $t in RR$ la funzione $s->x(t)e^(-st)$ è derivabile
5)$ |\partial/(\partials)x(t)e^(-st)|<=g(t)$
1) è verificata in quanto lavoriamo proprio laddove l'integrale è finito, quindi la funzione è misurabile.
2)$lim_(s->s_0)x(t)e^(-st)=x(t)lim_(s->s_0)e^(-st)=x(t)e^(-s_0t) AA s in S$
3)$g(t)={(x(t)e^(-\sigma_1t), if t>=0 ),(x(t)e^(-\sigma_1t), if t<0):}$, $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono le ascisse di convergenza
4)ovvio
5)ehm.. boh??
potendo quindi "derivare dentro all'integrale" scrivo:
$\partial/(\partialx)ccL[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$
$1/i\partial/(\partialy)ccL[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$
quindi la trasformata verifica le condizioni di Cauchy-Riemann.
Inoltre è di classe $C^1$, poichè $ccL'[x(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}-t*x(t)*e^(-(x+iy)t)dt$ e l'integrale è continuo (potendo di nuovo applicare il T. della convergenza dominata)
Scusate l'eccessiva lunghezza
Risposte
non c'è nessuno che può aiutarmi?
"Boris":Non si capisce bene... questi 5 punti sono ipotesi, o è quello che vuoi dimostrare?
avendo necessità di derivare sotto il segno di integrale applico il teorema di Lebesgue della convergenza dominata:
chiamando $S$ la striscia di convergenza della trasformata le ipotesi sono:
1) [...]
2) [...]
3) [...]
4) [...]
5) [...]
ok scusatemi, provo a spiegarmi meglio, visto che ho fatto un pò di confusione:
quelle sono le ipotesi che deve verificare una funzione definita tramite integrale, il cui integrando sia funzione di due variabili, per essere sicuri di poter derivare sotto il segno di integrale.
se la funzione rispetta queste ipotesi, si dimostra, tramite il teorema di Lebesgue, che è lecito derivare l'integrando.
Quindi il mio problema si riduce a dimostrare che la funzione rispetti quelle ipotesi.
quelle sono le ipotesi che deve verificare una funzione definita tramite integrale, il cui integrando sia funzione di due variabili, per essere sicuri di poter derivare sotto il segno di integrale.
se la funzione rispetta queste ipotesi, si dimostra, tramite il teorema di Lebesgue, che è lecito derivare l'integrando.
Quindi il mio problema si riduce a dimostrare che la funzione rispetti quelle ipotesi.
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