Dim. mediante l'assioma della scelta di definizioni di successioni
Ciao, non ho ben capito una cosa:
Dimostrare che per ogni insieme $A\subsetRR$ non vuoto e sup.lim., esiste una successione crescente ${x_n}_(n\inNN)\subsetA : \text(sup){x_n:n\inNN} = \text(sup)A$.
Io ho pensato:
L'assioma della scelta mi dice che dato una successione di insiemi non vuoti ${A_n}_(n\inNN), EE{a_n}n_(\inNN): a_n\inA_n$.
Quindi esiste una funzione definita su "tutti" gli insiemi {A_n} che estrara' un elemento da ciascun insieme. (forse e' un po' troppo informale \:)
Quindi ho pensato: se la mia successione è costruita su $RR$ e limitata sup. da $\alpha \inRR$ (che chiamero' $L$) posso suddividere il mio insieme $L$ in sotto insiemi non vuoti.
Ora potrei dire che presa una qualunque funzione $f$ che estragga un numero da ciascun insieme $A_n$, essendo questi valori unici su $RR$ non si ripeteranno e possono essere ordinati in una successione crescente.
Una volta ordinati, il valore massimo è il superiore della successione $A_n$ ma non sono sicuro che sia anche il superiore di $A$..
Altri dubbi:
1. se ho 2 insiemi: $A_m := {0..4}$ e $A_k := {2..16}$ rischio che la mia funzione $f$ estragga $2$ da $A_k$ e $3$ da $A_m$. Posso dire che non è un problema, basta scambiare l'ordine e si ottiene una succ. crescente?
2. gli insiemi $A_n$ possono non coprire tutto il "dominio disponibile" ? ad esempio se la mia successione degli insiemi appartiene a $RR$, possono essere questi delle "chiazze qua e la lungo $RR$"? si possono sovrapporre?
3. ho dei dubbi sul fatto che sia sempre possibile trovare una $f$ che leghi a un elemento di ogni insieme un altro elemento degli altri insiemi
Dimostrare che per ogni insieme $A\subsetRR$ non vuoto e sup.lim., esiste una successione crescente ${x_n}_(n\inNN)\subsetA : \text(sup){x_n:n\inNN} = \text(sup)A$.
Io ho pensato:
L'assioma della scelta mi dice che dato una successione di insiemi non vuoti ${A_n}_(n\inNN), EE{a_n}n_(\inNN): a_n\inA_n$.
Quindi esiste una funzione definita su "tutti" gli insiemi {A_n} che estrara' un elemento da ciascun insieme. (forse e' un po' troppo informale \:)
Quindi ho pensato: se la mia successione è costruita su $RR$ e limitata sup. da $\alpha \inRR$ (che chiamero' $L$) posso suddividere il mio insieme $L$ in sotto insiemi non vuoti.
Ora potrei dire che presa una qualunque funzione $f$ che estragga un numero da ciascun insieme $A_n$, essendo questi valori unici su $RR$ non si ripeteranno e possono essere ordinati in una successione crescente.
Una volta ordinati, il valore massimo è il superiore della successione $A_n$ ma non sono sicuro che sia anche il superiore di $A$..
Altri dubbi:
1. se ho 2 insiemi: $A_m := {0..4}$ e $A_k := {2..16}$ rischio che la mia funzione $f$ estragga $2$ da $A_k$ e $3$ da $A_m$. Posso dire che non è un problema, basta scambiare l'ordine e si ottiene una succ. crescente?
2. gli insiemi $A_n$ possono non coprire tutto il "dominio disponibile" ? ad esempio se la mia successione degli insiemi appartiene a $RR$, possono essere questi delle "chiazze qua e la lungo $RR$"? si possono sovrapporre?
3. ho dei dubbi sul fatto che sia sempre possibile trovare una $f$ che leghi a un elemento di ogni insieme un altro elemento degli altri insiemi
Risposte
Cosa succede se chiami:
\[
A_n :=\left\{ a\in A :\ \frac{1}{2^{n+1}}\leq \alpha -a<\frac{1}{2^n}\right\}
\]
(in cui \(\alpha =\sup A\))?
\[
A_n :=\left\{ a\in A :\ \frac{1}{2^{n+1}}\leq \alpha -a<\frac{1}{2^n}\right\}
\]
(in cui \(\alpha =\sup A\))?
Non ho competenze per risponderti correttamente.
Credo che tu definisca una successione di insiemi che contengono numeri tra $1/2^n$ e $1/2^(n+1)$ il quale cono $n\to\infty$ tende a zero, quindi insiemi sempre piu' piccoli, quasi a sembrare un intervallo centrato in un insieme
Scusa ma non ho proprio idea di dove tu voglia andare a parare.
Credo che tu definisca una successione di insiemi che contengono numeri tra $1/2^n$ e $1/2^(n+1)$ il quale cono $n\to\infty$ tende a zero, quindi insiemi sempre piu' piccoli, quasi a sembrare un intervallo centrato in un insieme
Scusa ma non ho proprio idea di dove tu voglia andare a parare.
Tre suggerimenti:
[list=1] [*:21l7j8gu] dimostra che \(A_n\neq \varnothing\) per \(n\geq \nu\);
[/*:m:21l7j8gu]
[*:21l7j8gu] dimostra che gli \(A_n\) con \(n\geq \nu\) sono a due a due disgiunti, i.e. che \(A_n\cap A_m=\varnothing\) per \(n\neq m\geq \nu\);
[/*:m:21l7j8gu]
[*:21l7j8gu] applica l'Assioma della Scelta alla famiglia \(\{ A_n\}_{n\geq \nu}\).[/*:m:21l7j8gu][/list:o:21l7j8gu]
[list=1] [*:21l7j8gu] dimostra che \(A_n\neq \varnothing\) per \(n\geq \nu\);
[/*:m:21l7j8gu]
[*:21l7j8gu] dimostra che gli \(A_n\) con \(n\geq \nu\) sono a due a due disgiunti, i.e. che \(A_n\cap A_m=\varnothing\) per \(n\neq m\geq \nu\);
[/*:m:21l7j8gu]
[*:21l7j8gu] applica l'Assioma della Scelta alla famiglia \(\{ A_n\}_{n\geq \nu}\).[/*:m:21l7j8gu][/list:o:21l7j8gu]
non ho capito cosa sia $\nu$ ..
Un indice abbastanza grande.
Infatti, in generale, i primi tra gli insiemi \(A_n\) potrebbero essere vuoti...
Ad esempio, prendi \(A=]0.99, 1[\), che ha \(\alpha =\sup A=1\): evidentemente:
\[
\begin{split}
A_1 &=\{a\in A: 0.25=\frac{1}{4}\leq \alpha -a<\frac{1}{2}=0.5\}=\varnothing\\
A_2 &=\{a\in A: 0.125=\frac{1}{8}\leq \alpha -a<\frac{1}{4}=0.25\}=\varnothing\\
A_3 &=\{a\in A: 0.0625=\frac{1}{16}\leq \alpha -a<\frac{1}{8}=0.125\}=\varnothing\\
A_4 &=\{a\in A: 0.03125=\frac{1}{32}\leq \alpha -a<\frac{1}{16}=0.0625\}=\varnothing\\
A_5 &=\{a\in A: 0.015625=\frac{1}{64}\leq \alpha -a<\frac{1}{32}=0.03125\}=\varnothing
\end{split}
\]
ma:
\[
A_6 =\{a\in A: 0.0078125=\frac{1}{128}\leq \alpha -a<\frac{1}{64}=0.015625\} \neq \varnothing
\]
poiché, ad esempio, \(\tilde{a}=0.991\) è tale che \(\alpha -\tilde{a}=1-0.991=0.009\) e \(0.0078125\leq 0.009<0.015625\), cosicché \(\tilde{a}\in A_6\); ed anche:
\[
A_7 =\{a\in A: 0.00390625=\frac{1}{256}\leq \alpha -a<\frac{1}{128}=0.0078125\} \neq \varnothing
\]
perché, ad esempio, \(\hat{a}=0.9995\) è tale che \(\alpha -\hat{a} = 1-0.995=0.005\) e \(0.00390625\leq 0.005<0.0078125\), quindi \(\hat{a}\in A_7\); etc...
Conseguentemente, per l'insieme \(A=]0.99,1[\), puoi dire che gli insiemi \(A_n\) sono non vuoti per \(n\geq 6=:\nu\).
Perdonami, ma se qualcuno mi comincia a parlare dell'Assioma della Scelta immagino che queste notazioni di base le sappia già maneggiare.
Infatti, in generale, i primi tra gli insiemi \(A_n\) potrebbero essere vuoti...
Ad esempio, prendi \(A=]0.99, 1[\), che ha \(\alpha =\sup A=1\): evidentemente:
\[
\begin{split}
A_1 &=\{a\in A: 0.25=\frac{1}{4}\leq \alpha -a<\frac{1}{2}=0.5\}=\varnothing\\
A_2 &=\{a\in A: 0.125=\frac{1}{8}\leq \alpha -a<\frac{1}{4}=0.25\}=\varnothing\\
A_3 &=\{a\in A: 0.0625=\frac{1}{16}\leq \alpha -a<\frac{1}{8}=0.125\}=\varnothing\\
A_4 &=\{a\in A: 0.03125=\frac{1}{32}\leq \alpha -a<\frac{1}{16}=0.0625\}=\varnothing\\
A_5 &=\{a\in A: 0.015625=\frac{1}{64}\leq \alpha -a<\frac{1}{32}=0.03125\}=\varnothing
\end{split}
\]
ma:
\[
A_6 =\{a\in A: 0.0078125=\frac{1}{128}\leq \alpha -a<\frac{1}{64}=0.015625\} \neq \varnothing
\]
poiché, ad esempio, \(\tilde{a}=0.991\) è tale che \(\alpha -\tilde{a}=1-0.991=0.009\) e \(0.0078125\leq 0.009<0.015625\), cosicché \(\tilde{a}\in A_6\); ed anche:
\[
A_7 =\{a\in A: 0.00390625=\frac{1}{256}\leq \alpha -a<\frac{1}{128}=0.0078125\} \neq \varnothing
\]
perché, ad esempio, \(\hat{a}=0.9995\) è tale che \(\alpha -\hat{a} = 1-0.995=0.005\) e \(0.00390625\leq 0.005<0.0078125\), quindi \(\hat{a}\in A_7\); etc...
Conseguentemente, per l'insieme \(A=]0.99,1[\), puoi dire che gli insiemi \(A_n\) sono non vuoti per \(n\geq 6=:\nu\).
Perdonami, ma se qualcuno mi comincia a parlare dell'Assioma della Scelta immagino che queste notazioni di base le sappia già maneggiare.
si, sn un ignorante matematico (come ci diceva alle superiori il mio prof di statistica) pero' se puoi, abbi pazienza perchè non ho capito come fai a fare questo:hai definito $A:=]0.999,1[$, insieme aperto tra $0.999 - 1$ poi dici:
"gugo82":
\[ A_6 =\{a\in A: 0.0078125=\frac{1}{128}\leq \alpha -a<\frac{1}{64}=0.015625\} \neq \varnothing \]
poiché, ad esempio, \( \tilde{a}=0.991 \) è tale che \( \alpha -\tilde{a}=1-0.991=0.009 \) e \( 0.0078125\leq 0.009<0.015625 \), cosicché \( \tilde{a}\in A_6 \);
scusa ma 0.991 non fa parte di A se $A:=]0.999 - 1[$??
Semplicemente ho battuto un \(9\) di troppo all'inizio del post... Ciò è abbastanza evidente dal ragionamento portato avanti ed anche dalle ultime righe, in cui c'è scritto esplicitamente \(A=]0.99,1[\).
Quindi nel caso di $A = ]0.99,1[$ si ha che $\nu = 6$
mentre nel caso di $A = ]0.999,1[$ si ha che $\nu = 7$
mentre nel caso di $A = ]0.999,1[$ si ha che $\nu = 7$
"A occhio", sì.
Ad ogni modo, hai capito come usare gli insiemi \(A_n\)?
Ad ogni modo, hai capito come usare gli insiemi \(A_n\)?
Spero di si, tempo di no..
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