[Dim.] Disuguaglianza schwarz
Ciao!
In geometria abbiamo fatto la dimostrazione della disuguaglianza schwarz, qualcuno di voi saprebbe spiegarmela in modo semplice ? non ho capito comesi fa a trovare il valore di lambda per cui la funzione in lambda ammette valore minimo...
Grazie!
In geometria abbiamo fatto la dimostrazione della disuguaglianza schwarz, qualcuno di voi saprebbe spiegarmela in modo semplice ? non ho capito comesi fa a trovare il valore di lambda per cui la funzione in lambda ammette valore minimo...
Grazie!
Risposte
io adesso non lo so...forse sbaglio..ma io credo che ci siano un sacco di modi diversi di enunciare e dimostrare la disuguaaglianza da te citata...quindi credo sia opportuno che inserisca l'enunciato e la dimostrazione che hai tu...
ciao
il vecchio
ciao
il vecchio
quella che ho io dice che:
| u * v | <= ||u|| * ||v||
lo dimostra così:
se u, v =0 è banale.
Altrimenti se v diverso da zero, per ogni lambda appartenente ad R si ha ( ponendo lambda = y ):
0 <= ||u + yv||^2 = ||u||^2 + 2yuv + y^2*||v||^2
Se si pone y = - ( u * v )/( ||v||^2 ) che è il valore di y per cui la funzione non negativa f(y) = || u + yv^2||^2 assume il valore minimo si ottiene:
0 <= ||u||^2 - ( u * v ) ^2 / ( ||v||^2)
da cui si dimostra la tesi.
Io non ho capito come fa a trovare il valore di lambda per cui la funzione assume valore minimo... e perchè lo deve trovare...
| u * v | <= ||u|| * ||v||
lo dimostra così:
se u, v =0 è banale.
Altrimenti se v diverso da zero, per ogni lambda appartenente ad R si ha ( ponendo lambda = y ):
0 <= ||u + yv||^2 = ||u||^2 + 2yuv + y^2*||v||^2
Se si pone y = - ( u * v )/( ||v||^2 ) che è il valore di y per cui la funzione non negativa f(y) = || u + yv^2||^2 assume il valore minimo si ottiene:
0 <= ||u||^2 - ( u * v ) ^2 / ( ||v||^2)
da cui si dimostra la tesi.
Io non ho capito come fa a trovare il valore di lambda per cui la funzione assume valore minimo... e perchè lo deve trovare...
nessuno ? mi basta capire perchè è proprio quel valore di lambda che fornisce il valore minimo alla funzione... non capisco come ci si arriva...
per minimizzare rispetto a lambda basta derivare rispetto a lambda. poiché l'equazione è una parabola, il minimo sarà assunto nel punto in cui la derivata vale 0, ovvero quello che scrivi tu! 
ma devo derivare questo?
||u + yv||^2
o questa: ||u||^2 + 2yuv + y^2*||v||^2
e soprattutto come derivo?
||u + yv||^2
o questa: ||u||^2 + 2yuv + y^2*||v||^2
e soprattutto come derivo?
devi derivare la seconda, perché è della seconda che vuoi trovare il minimo. per derivarla devi considerare che la variabile di derivazione è y. gli altri termini sono costanti scalari, che quindi rimangono tali e quali. la derivata vale
2 * uv + 2y * ||v||^2
uguagliandola a zero ottieni
y = - uv / ||v||^2
2 * uv + 2y * ||v||^2
uguagliandola a zero ottieni
y = - uv / ||v||^2
Non c'e' bisogno di scomodare derivate e ottimizzazioni: la disuguaglianza di Shwarz vale in un qualunque spazio di Hilbert (non solo in R^n ma anche in spazi di dimensione infinita purche' dotati della struttura di spazio Hilbertiano) e si dimostra algebricamente.
Con indichero' il prodotto scalare fra a e b.
Sia g(t) = || t u + v || ^ 2 dove t e' un reale e u e v due elementi dello spazio.
0 <= g(t) = < t u + v , t u + v > = t^2 ||u||^2 + 2 t < u , v > + ||v||^2 >= 0
Abbiamo un polinomio di secondo grado in t che deve essere maggiore o uguale a zero. Il coefficiente di t^2 e' positivo. Quindi la condizione da applicare e' quella del "delta" (quello delle superiori per intenderci)
delta/4 = | < u , v > |^2 - ||u||^2 ||v||^2 =< 0
Abbiamo la disuguaglianza cercata!!! (basta portare cio' che c'e' dopo il meno "dall'altra parte")
Con
Sia g(t) = || t u + v || ^ 2 dove t e' un reale e u e v due elementi dello spazio.
0 <= g(t) = < t u + v , t u + v > = t^2 ||u||^2 + 2 t < u , v > + ||v||^2 >= 0
Abbiamo un polinomio di secondo grado in t che deve essere maggiore o uguale a zero. Il coefficiente di t^2 e' positivo. Quindi la condizione da applicare e' quella del "delta" (quello delle superiori per intenderci)
delta/4 = | < u , v > |^2 - ||u||^2 ||v||^2 =< 0
Abbiamo la disuguaglianza cercata!!! (basta portare cio' che c'e' dopo il meno "dall'altra parte")
anche io conoscevo quest'ultima. ma direi che sono sostanzialmente identiche 
A dire il vero quando mi sono messo a scrivere non avevi ancora risposto......
Ho messo questa perche' ho visto che c'era confunsione sulla storia della derivata.
Ho messo questa perche' ho visto che c'era confunsione sulla storia della derivata.
si a volte capita che, scrivendo messaggi lunghi, ci si accavalli. è sempre interessante vedere diverse dimostrazioni di una stessa proposizione. il vecchio diceva che ce ne sono altre: chi ne conosce qualcuna? personalmente tra queste preferisco quella di rocco.g.
ecco uno spunto di riflessione: in base a cosa preferite una dimostrazione o un'altra? oltre alla correttezza formale, che è condizione necessaria, è inevitabile utilizzare una qualche sorta di criterio "estetico". qual è il vostro, se ne avete uno in particolare?
ecco uno spunto di riflessione: in base a cosa preferite una dimostrazione o un'altra? oltre alla correttezza formale, che è condizione necessaria, è inevitabile utilizzare una qualche sorta di criterio "estetico". qual è il vostro, se ne avete uno in particolare?
A me piacciono quando sono "pulite" ovvero dimensionate alla difficolta' del problema.
Mi spiego: una dimostrazione dell'area del triangolo usando la formula di Gauss della divergenza o, peggio, la misura di Hausdorff sarebbe proprio una cosa orrenda!
Come sparare una testata nucleare su un formicaio!
Comunque quelle piu' belle sono quelle non dirette. Tipo quella del lemma di Gromwall (non so se si scrive cosi') che parte da una funzione che apparentemente non c'entra un tubo col problema.
Oppure ho visto una dimostrazione fatta solo con il compasso e il righello dell'irrazionalita' di radice di due assolutamente stupenda.... Comunque per quello che mi riguarda mi limito a dimostrare senza pretese estetiche (soprattutto agli esami) se non quando si tratta di semplificare molto la dimostrazione. (E' gia' tanto se riesco a farla una dimostrazione....)
Mi spiego: una dimostrazione dell'area del triangolo usando la formula di Gauss della divergenza o, peggio, la misura di Hausdorff sarebbe proprio una cosa orrenda!
Come sparare una testata nucleare su un formicaio!
Comunque quelle piu' belle sono quelle non dirette. Tipo quella del lemma di Gromwall (non so se si scrive cosi') che parte da una funzione che apparentemente non c'entra un tubo col problema.
Oppure ho visto una dimostrazione fatta solo con il compasso e il righello dell'irrazionalita' di radice di due assolutamente stupenda.... Comunque per quello che mi riguarda mi limito a dimostrare senza pretese estetiche (soprattutto agli esami) se non quando si tratta di semplificare molto la dimostrazione. (E' gia' tanto se riesco a farla una dimostrazione....)
Grazie per la spiegazione ragazzi!!!
Cmq a me le dimostrazioni piacciono, come dice davide, quando sono rapportate al problema. Di solito quanto più semplici sono meglio è, sempre ammesso che non ne risenta in alcun modo la forma e la chiarezza. A volte dimostrazioni semplici sono più incasinate di altre dimostrazioni che in realtà potrebbero sembrare più difficili.
Grazie ancora!
Cmq a me le dimostrazioni piacciono, come dice davide, quando sono rapportate al problema. Di solito quanto più semplici sono meglio è, sempre ammesso che non ne risenta in alcun modo la forma e la chiarezza. A volte dimostrazioni semplici sono più incasinate di altre dimostrazioni che in realtà potrebbero sembrare più difficili.
Grazie ancora!
o come cercare i talebani a suon di bombe...
interessante! quindi se ho ben capito abbiamo come criteri:
1) chiarezza
2) semplicità (nel senso di buon rapporto col problema)
sono d'accordissimo con voi. aggiungerei che, quanto più una dimostrazione fa parte di una teoria più ampia, mi piace che sia costruita sfruttando al massimo i risultati ad essa precedenti. che ne pensate?
interessante! quindi se ho ben capito abbiamo come criteri:
1) chiarezza
2) semplicità (nel senso di buon rapporto col problema)
sono d'accordissimo con voi. aggiungerei che, quanto più una dimostrazione fa parte di una teoria più ampia, mi piace che sia costruita sfruttando al massimo i risultati ad essa precedenti. che ne pensate?
penso che sono d'accordissimo!!! Questo denota che conosci bene tutta la teoria che viene prima della dimostrazione e che riesci a gestirla bene anche per dimostrare un qualcosa che in teoria è leggermente diverso dalla situazione di partenza.
ritornando alla dimostrazione di schwarz... mi stavo chiedendo una cosa...
se la tesi dice:
|g(u,v)| = |u|*|v|
perchè, per v diverso da zero ed y reale, si pone subito |u + yv| ??? cioè da dove esce questa relazione ?
se la tesi dice:
|g(u,v)| = |u|*|v|
perchè, per v diverso da zero ed y reale, si pone subito |u + yv| ??? cioè da dove esce questa relazione ?
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