Dim. che l'esponenziale è scrivibile come una produttoria
Voglio dimostrare che [tex]e^x = \lim_{N\to \infty}(1+\frac{x}{N})^N[/tex]
Inizialmente avevo provato a sviluppare in serie l'esponenziale [tex]\lim_{N\to \infty}\sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to \infty} \left( \prod_{i=1}^{N} \left( \sum_{n_i=0}^{N} \frac{x^{n_i}}{n_i!}\right)\right)^{\frac{1}{N}}[/tex]
ma poi mi sono perso in tutte le produttorie e sommatorie e sono arrivato ad un risultato che mi pareva troppo incasinato...
A proposito esiste una dimostrazione che parte da questa parte dell'uguale?
Invece poi ho pensato di partire dall'altra parte dell'uguale
[tex](1+\frac{x}{N})^N= \sum_{n=0}^N \frac{N!}{n! (N-n)!} \; \frac{x^n}{N^n}[/tex] ora ho pensato a stirling
quindi [tex]N^n=N^{N-N+n}=\frac{N^N}{N^{N-n}}[/tex]
e sostituendo nell'espressione iniziale [tex]\lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{N!}{n! (N-n)!} \; \frac{N^{N-n}}{N^N} \; x^n[/tex]
suppongo di poter sdoppiare il limite e portarlo anche dentro (anche se non so molto bene perché
... )
dunque sarei a posto se dentro la sommatoria mi rimanesse lo sviluppo dell'esponenziale, vado perciò ad analizzare il termine
[tex]\lim_{N\to \infty} \frac{N!}{(N-n)!} \; \frac{N^{N-n}}{N^N}[/tex]
qui si vede che [tex]N![/tex] viene ucciso da [tex]N^N[/tex],
quello che mi lascia perplesso è il secondo rapporto [tex]\frac{N^{N-n}}{(N-n)!}[/tex] infatti [tex]\forall n[/tex] potrei dire che nel limite di [tex]N[/tex] che tende all'infinito
si comporta come [tex]\frac{(N-n)^{N-n}}{(N-n)!}[/tex], perché il [tex]+n[/tex] che nascerebbe al numeratore viene "mangiato" da [tex]N[/tex] (sarebbe infatti [tex]N^{N-n}=(N-n+n)^{N-n}[/tex]),
ma anche [tex]n[/tex] può andare all'infinito perché nella sommatoria sta tra [tex]0[/tex] e [tex]N[/tex], perciò come ne esco?
Grazie
Inizialmente avevo provato a sviluppare in serie l'esponenziale [tex]\lim_{N\to \infty}\sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to \infty} \left( \prod_{i=1}^{N} \left( \sum_{n_i=0}^{N} \frac{x^{n_i}}{n_i!}\right)\right)^{\frac{1}{N}}[/tex]
ma poi mi sono perso in tutte le produttorie e sommatorie e sono arrivato ad un risultato che mi pareva troppo incasinato...
A proposito esiste una dimostrazione che parte da questa parte dell'uguale?
Invece poi ho pensato di partire dall'altra parte dell'uguale
[tex](1+\frac{x}{N})^N= \sum_{n=0}^N \frac{N!}{n! (N-n)!} \; \frac{x^n}{N^n}[/tex] ora ho pensato a stirling
quindi [tex]N^n=N^{N-N+n}=\frac{N^N}{N^{N-n}}[/tex]
e sostituendo nell'espressione iniziale [tex]\lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{N!}{n! (N-n)!} \; \frac{N^{N-n}}{N^N} \; x^n[/tex]
suppongo di poter sdoppiare il limite e portarlo anche dentro (anche se non so molto bene perché
... )dunque sarei a posto se dentro la sommatoria mi rimanesse lo sviluppo dell'esponenziale, vado perciò ad analizzare il termine
[tex]\lim_{N\to \infty} \frac{N!}{(N-n)!} \; \frac{N^{N-n}}{N^N}[/tex]
qui si vede che [tex]N![/tex] viene ucciso da [tex]N^N[/tex],
quello che mi lascia perplesso è il secondo rapporto [tex]\frac{N^{N-n}}{(N-n)!}[/tex] infatti [tex]\forall n[/tex] potrei dire che nel limite di [tex]N[/tex] che tende all'infinito
si comporta come [tex]\frac{(N-n)^{N-n}}{(N-n)!}[/tex], perché il [tex]+n[/tex] che nascerebbe al numeratore viene "mangiato" da [tex]N[/tex] (sarebbe infatti [tex]N^{N-n}=(N-n+n)^{N-n}[/tex]),
ma anche [tex]n[/tex] può andare all'infinito perché nella sommatoria sta tra [tex]0[/tex] e [tex]N[/tex], perciò come ne esco?
Grazie
Risposte
Ciao Fox, ho letto di sfuggita la tua domanda e non credo di aver afferrato il procedimento.
Se non ho frainteso, partendo dalla definzione
[tex]$e^x :=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]
vuoi arrivare a
[tex]$e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/tex]. E' così?
Se non ho frainteso, partendo dalla definzione
[tex]$e^x :=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]
vuoi arrivare a
[tex]$e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/tex]. E' così?
Il problema si riconduce a provare che
[tex]$\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/tex]...
A qualcuno viene in mente qualche giochetto con le sommatorie?
Anzi no, si potrebbe provare per induzione, ora che ci penso.
[tex]$\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/tex]...
A qualcuno viene in mente qualche giochetto con le sommatorie?
Anzi no, si potrebbe provare per induzione, ora che ci penso.
Quell'uguaglianza non sussiste per ogni x e per ogni n. Se prendi x=1 e n=2 già non funziona più.
Ok, allora come non detto... 
Qualche piccolo sospetto ce l'avevo...
Qualche piccolo sospetto ce l'avevo...
si infatti il tutto vale nel limite di [tex]N[/tex] che tende a infinito
nel mio primo post avevo provato con stirling, ma alcuni passaggi mi paiono un pò oscuri...
nel mio primo post avevo provato con stirling, ma alcuni passaggi mi paiono un pò oscuri...
Una dimostrazione di questo simpatico fatto la puoi trovare qui. Tra l'altro quello che ho linkato è un libro molto ben fatto, e ringrazio dissonance per averlo messo tra le [dispense, appunti ed esercizi in rete].
Non se puede
, un estremo della sommatoria dipende dal limite.
"Fox":
[...]suppongo di poter sdoppiare il limite e portarlo anche dentro[...]
Non se puede
, un estremo della sommatoria dipende dal limite.
Ti ringrazio davvero tanto, ho visto la dimostrazione che mi hai linkato...
Solo non capisco come mai non potevo fare quel gioco con il limite...
Scusa l'ignoranza, ma se ho una sommatoria con [tex]n\rightarrow \infty[/tex], perché non diventa la sommatoria infinita del limite dei suoi termini?
Ovvero in formule come mai
[tex]\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a_k(n) \ne \sum_{k=0}^\infty \lim_{n\to \infty} a_k(n)[/tex] ?
Solo non capisco come mai non potevo fare quel gioco con il limite...
Scusa l'ignoranza, ma se ho una sommatoria con [tex]n\rightarrow \infty[/tex], perché non diventa la sommatoria infinita del limite dei suoi termini?
Ovvero in formule come mai
[tex]\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a_k(n) \ne \sum_{k=0}^\infty \lim_{n\to \infty} a_k(n)[/tex] ?
Ad esempio, per [tex]$(n,k)\in \mathbb{N}^2$[/tex], definiamo:
[tex]$a_k(n):=\begin{cases} \frac{1}{n+1} &\text{, se $0\leq k\leq n$} \\ 0 &\text{, se $k>n$}\end{cases}$[/tex];
per rappresentare la successione possiamo usare la matrice infinita (sulle righe si legge [tex]$n$[/tex], sulle colonne [tex]$k$[/tex]; in altre parole [tex]$a_k(n)$[/tex] è l'elemento sull'[tex]$n$[/tex]-esima riga e sulla [tex]$k$[/tex]-esima colonna):
[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \cdots \\
\frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{n+1} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}$[/tex].
Evidentemente è:
[tex]$\forall k\in \mathbb{N},\ \lim_n a_k(n)=0$[/tex]
sicché:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} \lim_n a_k(n) =\sum_{k=0}^{+\infty} 0=0$[/tex].
D'altra parte si ha:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n a_k(n)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1}= 1$[/tex]
e perciò:
[tex]$\lim_n \sum_{k=0}^n a_k(n) =1$[/tex].
Ciò mostra che, in generale, risulta [tex]$\lim_n \sum_{k=0}^n a_k(n) \neq \sum_{k=0}^{+\infty} \lim_n a_k(n)$[/tex].
[tex]$a_k(n):=\begin{cases} \frac{1}{n+1} &\text{, se $0\leq k\leq n$} \\ 0 &\text{, se $k>n$}\end{cases}$[/tex];
per rappresentare la successione possiamo usare la matrice infinita (sulle righe si legge [tex]$n$[/tex], sulle colonne [tex]$k$[/tex]; in altre parole [tex]$a_k(n)$[/tex] è l'elemento sull'[tex]$n$[/tex]-esima riga e sulla [tex]$k$[/tex]-esima colonna):
[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \cdots \\
\frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{n+1} & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}$[/tex].
Evidentemente è:
[tex]$\forall k\in \mathbb{N},\ \lim_n a_k(n)=0$[/tex]
sicché:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} \lim_n a_k(n) =\sum_{k=0}^{+\infty} 0=0$[/tex].
D'altra parte si ha:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n a_k(n)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1}= 1$[/tex]
e perciò:
[tex]$\lim_n \sum_{k=0}^n a_k(n) =1$[/tex].
Ciò mostra che, in generale, risulta [tex]$\lim_n \sum_{k=0}^n a_k(n) \neq \sum_{k=0}^{+\infty} \lim_n a_k(n)$[/tex].
Nonostante il controesempio di gugo fosse più che sufficiente, ne ho un altro, lo scrivo perchè ho una cosa da chiedere 
.
Considera [tex]a_{n, k}=\frac{1}{n+k}, \quad n,k\in \mathbb{N}_{>0}[/tex], facilmente puoi mostrare che [tex]$a_{n,k}\ge \frac{1}{2n}\quad \text{ per }k= 1,\cdots, n[/tex]
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\ge \frac{n}{2n}= \frac{1}{2}\quad \forall n\in\mathbb{N}_{>0}[/tex], pertanto:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\ge \frac{1}{2}[/tex].
D'altro canto
[tex]$\sum_{k=1}^\infty\lim_{n\to\infty} a_{n, k}= \sum_{k=1}^\infty 0 = 0[/tex]. I limiti non possono quindi coincidere.
Una domanda:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}= \log(2)[/tex] (wolfram-alpha)
come faccio a verificarlo?
.Considera [tex]a_{n, k}=\frac{1}{n+k}, \quad n,k\in \mathbb{N}_{>0}[/tex], facilmente puoi mostrare che [tex]$a_{n,k}\ge \frac{1}{2n}\quad \text{ per }k= 1,\cdots, n[/tex]
[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\ge \frac{n}{2n}= \frac{1}{2}\quad \forall n\in\mathbb{N}_{>0}[/tex], pertanto:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\ge \frac{1}{2}[/tex].
D'altro canto
[tex]$\sum_{k=1}^\infty\lim_{n\to\infty} a_{n, k}= \sum_{k=1}^\infty 0 = 0[/tex]. I limiti non possono quindi coincidere.
Una domanda:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}= \log(2)[/tex] (wolfram-alpha)
come faccio a verificarlo?
Per imparare a fare questo tipo di conti ti consiglio questo piccolo tutorial:
http://www.stanford.edu/~dgleich/public ... lculus.pdf
[edit]Purtroppo mi sa che in questo caso le tecniche del tutorial non ti aiutano. Comunque lascio il link perché è carino.
http://www.stanford.edu/~dgleich/public ... lculus.pdf
[edit]Purtroppo mi sa che in questo caso le tecniche del tutorial non ti aiutano. Comunque lascio il link perché è carino.
Ti ringrazio dissonance, lo leggerò ugualmente
Grazie,
il mio ragionamento è stato smontato a dovere!
tutto chiaro.
Un "tutorial" di matematica mi mancava, simpatico.
il mio ragionamento è stato smontato a dovere!
tutto chiaro.
Un "tutorial" di matematica mi mancava
, simpatico.
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