Dim. che la succ. (1+1/n)^(n+1) è decrescente
Allora, questo equivale a dimostrare che:
\(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
Definisco i numeri \(\displaystyle x_1 = 1\), \(\displaystyle x_2, x_3, \ldots, x_{n+2} = (1 + \frac{1}{n})\)
Grazie alla disuguaglianza aritmetico geometrica:
\(\displaystyle \sqrt[n+2]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n+2}} < \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n+2}}{n+2}% \)
\(\displaystyle {x_{1}x_{2}\cdots x_{n+2}} < (\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n+2}}{n+2})^{n+2}% \)
\(\displaystyle \ 1 \cdot \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} < \left( \frac{1+(n+1) \Big(1+\frac{1}{n} \Big)}{n+2} \right)^{n+2} \)
\(\displaystyle \ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} < \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} \)
Ora non mi resta che dimostrare che:
\(\displaystyle \ \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}\)
ovvero:
\(\displaystyle \frac{n^2+4n+\frac{1}{n}+4}{(n+1)(n+2)} > \frac{n^2+4n+4}{(n+1)(n+2)}\)
Ho fatto giusto?
Lo so che si poteva anche fare con Bernoulli
\(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
Definisco i numeri \(\displaystyle x_1 = 1\), \(\displaystyle x_2, x_3, \ldots, x_{n+2} = (1 + \frac{1}{n})\)
Grazie alla disuguaglianza aritmetico geometrica:
\(\displaystyle \sqrt[n+2]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n+2}} < \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n+2}}{n+2}% \)
\(\displaystyle {x_{1}x_{2}\cdots x_{n+2}} < (\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n+2}}{n+2})^{n+2}% \)
\(\displaystyle \ 1 \cdot \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} < \left( \frac{1+(n+1) \Big(1+\frac{1}{n} \Big)}{n+2} \right)^{n+2} \)
\(\displaystyle \ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} < \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} \)
Ora non mi resta che dimostrare che:
\(\displaystyle \ \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}\)
ovvero:
\(\displaystyle \frac{n^2+4n+\frac{1}{n}+4}{(n+1)(n+2)} > \frac{n^2+4n+4}{(n+1)(n+2)}\)
Ho fatto giusto?
Lo so che si poteva anche fare con Bernoulli
Risposte
Ciao tecya,
L'idea è buona, anche se non particolarmente nuova:
https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/MatheMath/Giugno_04/medie.pdf
Direi di no perché di fatto dopo la tua frase
hai fatto uso della disuguaglianza
$(1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}$
che è proprio ciò che devi dimostrare...
L'idea è buona, anche se non particolarmente nuova:
https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/MatheMath/Giugno_04/medie.pdf
"tecya":
Ho fatto giusto?
Direi di no perché di fatto dopo la tua frase
"tecya":
Ora non mi resta che dimostrare che:
hai fatto uso della disuguaglianza
$(1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}$
che è proprio ciò che devi dimostrare...
Allora, io dovevo dimostrare che
\(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
Chiamiamo
\(\displaystyle a = (1+\frac{1}{n})^{n+1} \)
\(\displaystyle b = (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
\(\displaystyle c = \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} \)
Idealmente io, senza partire dalla tesi ho mostrato che c>a.
Poi ho messo c>b, anche questo vero, però non ci dicono nulla sulla relazione tra a e b
Speravo io di poter scavalcare Bernoulli, e invece...
\(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n+1} > (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
Chiamiamo
\(\displaystyle a = (1+\frac{1}{n})^{n+1} \)
\(\displaystyle b = (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \)
\(\displaystyle c = \left( \frac{3+n+\frac{1}{n}}{n+2} \right)^{n+2} \)
Idealmente io, senza partire dalla tesi ho mostrato che c>a.
Poi ho messo c>b, anche questo vero, però non ci dicono nulla sulla relazione tra a e b
Speravo io di poter scavalcare Bernoulli, e invece...
"tecya":
Speravo io di poter scavalcare Bernoulli
Non capisco perché ci tieni tanto a farlo...
Comunque lo puoi fare. Mi sa che non hai letto attentamente il link che ti ho inviato nel post precedente: punto 8. a pagina 6 di 8...
"pilloeffe":
[quote="tecya"]Speravo io di poter scavalcare Bernoulli
Non capisco perché ci tieni tanto a farlo...
Comunque lo puoi fare. Mi sa che non hai letto attentamente il link che ti ho inviato nel post precedente: punto 8. a pagina 6 di 8...[/quote]
Grazie infinite
Comunque ero appunto interessato ad una dimostrazione alternativa
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