Dilatazione della misura (Misura di Lebesgue)
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano riguardo il seguente teorema.
Sia $E sube RR^n$ un insieme Lebesgue misurabile. Dato $delta>0$ poniamo $E_delta={delta^-1x : x in E }$. Tale insieme è misurabile e risulta $|E_delta|=delta^n|E|$
Ciò che non capisco è perché si debba usare proprio $delta^-1$ nella definizione dell'insieme dilatato.
volevo chiedervi una mano riguardo il seguente teorema.
Sia $E sube RR^n$ un insieme Lebesgue misurabile. Dato $delta>0$ poniamo $E_delta={delta^-1x : x in E }$. Tale insieme è misurabile e risulta $|E_delta|=delta^n|E|$
Ciò che non capisco è perché si debba usare proprio $delta^-1$ nella definizione dell'insieme dilatato.
Risposte
Mi sa che è sbagliato. Queste cose non sono molto intuitive, tu nel dubbio fatti sempre un esempio rapido.
Prendi \(E=\{x \in \mathbb{R}^n\mid \lvert x \rvert \le 1\}\), la sfera unitaria. Allora \(E_{\delta}=\{y\in\mathbb{R}^n\mid y=x/\delta, \lvert x \rvert\le1\}\), e quindi \(y\in E_\delta \iff \lvert y\rvert \le1/\delta\). Quindi \(E_{\delta}\) è la sfera di raggio \(\delta^{-1}\) che ha misura \(\delta^{-n}\cdot\text{la misura della sfera unitaria}\) (convincitene pensando all'area del cerchio di raggio \(\delta^{-1}\) che è \(\pi \delta^{-2}\)).
In conclusione la formula corretta è \(\lvert E_{\delta}\rvert=\delta^{-n}\lvert E\rvert.\)
Prendi \(E=\{x \in \mathbb{R}^n\mid \lvert x \rvert \le 1\}\), la sfera unitaria. Allora \(E_{\delta}=\{y\in\mathbb{R}^n\mid y=x/\delta, \lvert x \rvert\le1\}\), e quindi \(y\in E_\delta \iff \lvert y\rvert \le1/\delta\). Quindi \(E_{\delta}\) è la sfera di raggio \(\delta^{-1}\) che ha misura \(\delta^{-n}\cdot\text{la misura della sfera unitaria}\) (convincitene pensando all'area del cerchio di raggio \(\delta^{-1}\) che è \(\pi \delta^{-2}\)).
In conclusione la formula corretta è \(\lvert E_{\delta}\rvert=\delta^{-n}\lvert E\rvert.\)
In definitiva basta scrivere $E_delta={deltax : x in E}$. Giusto?
PS: Mi potresti dire come si pronuncia Lebesgue?
PS: Mi potresti dire come si pronuncia Lebesgue?
"Sirio1988":Penso che l'autore intendesse questo, ma verificalo tu da solo col metodo che dicevo prima: fai la prova su insiemi "facili", di cui sai calcolare facilmente la misura, come cerchi e sfere. Questo tipo di trucchi è fondamentale nella vita, per capire velocemente se le formule sono corrette.
In definitiva basta scrivere $E_delta={deltax : x in E}$. Giusto?
PS: Mi potresti dire come si pronuncia Lebesgue?Più o meno così: Lebeeg. Cerca qua:
pronuncia-del-nome-t24712.html
Perfetto. Grazie.
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