Difficoltà svolgimento esercizio

[Pasticcio4]

Ciao, ho ancora dei problemi nello svolgimento degli esercizi sugli integrali multipli, in questo caso sugli integrali doppi.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Si calcoli $ int int_(T)^() log(1+x^2+y^2)/(1+x^2+y^2)dx dy $
dove $ T={(x,y)inR^2: x^2+y^2<=2, |y|
Ho provato in due modi:
1)Ho provato a fare un disegno dell'insieme T e mi viene una circonferenza alla quale tolgo il "pezzo" compreso tra y=x e y=-x.
Successivamente ho pensato: noto che il mio disegno è simmetrico rispetto all'asse delle y, dunque posso calcolare $ 2int_(-sqrt2)^(sqrt2) int_(-sqrt2)^(x)log(1+x^2+y^2)/(1+x^2+y^2) dy dx $ ma non saprei come portare avanti il calcolo.
2)Ho notato che come integranda c'è una funzione moltiplicata per l'inverso del suo argomento: ciò mi porta a sostituire $ 1+x^2+y^2 $ con una variabile t, ma poi ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione corretti.
Mi date una mano per favore?
Grazie

[cooper1]

io farei così...
la circonferenza e le rette si incontrano in $(1,1)$ e $(-1,-1)$. la funzione è simmetrica e pari rispetto allo scambio $y -> -y$ quindi puoi studiare solo due volte l'integrale. a questo punto io passerei in coordinate polari con l'angolo che varia tra $[pi/4, pi/2]$ e il raggio che varia tra $[0,sqrt2]$