Difficoltà su integrale

[pitrineddu90]

Ho questo integrale.
$int (sin^2 x cos^2 x) dx$
che è uguale a:
$int (1-cos^2 x) (cos^2 x) dx$
Quindi facendo le moltiplicazioni :
$int (cos^2 x-cos^4 x) dx$
Cioè:
$int (cos^2 x) dx-int (cos^4 x) dx$
A questo punto integro per parti i 2 integrali, la cui soluzione del primo integrale è :
$int cos^2 x dx= ((sen x cos x + x)/x) +c$
e la soluzione del secondo integrale :
$-int (cos^4 x) dx = -int (cos^2 x)(cos^2 x) dx$
Usando le formule trigonomentriche:
$-int(1-sen^2 x)(1-sen^2 x) dx$
$-int(1+sen^4 x -2sen^2 x) dx$
Quindi
$-int dx -int sen^4 x +2int sen ^2 x dx$

E vado a ripetere gli stessi passaggi finchè non giungo alla risoluzione di tutto l'integrale.
Esiste un metodo più semplice per calcolarmi questo integrale ?
A mio avviso sembrano troppi passaggi.
Chi mi aiuta ? Grazie!

[regim]

Troppi? non direi proprio, e meno di quelli ci sono solo gli integrati immediati.

[pitrineddu90]

Allora (salvo errori) è questo il procedimento che dovrei seguire no ?

[Paolo902]

In alternativa ci può ricondurre facilmente all'integrale di $sin^2x$ in $dx$ (che dovrebbe esserti noto, o comunque facilmente calcolabile).

L'idea è notare che $sin^2xcos^2x = (sin^2(2x))/4$ e poi sostituzione.

[pitrineddu90]

Paolo90 come mi hai detto tu risolvo l'integrali in meno passaggi di come l'avrei risolto integrando ogni volta per parti. Grazie

[Paolo902]

Di nulla, figurati.

[pitrineddu90]

Quindi facendo la sostituzione (2x=t; x=t/2; la derivata di dx = 1/2) viene:

$1/8 int sin^2 t dt$
Facendo i vari passaggi :
$int (sin^2(2x))/4= (-cos 2x sin 2x +2x + c)/2$
Giusto ?

[Paolo902]

Hai provato a derivare?

(Tienilo a mente come suggerimento, anche in un compito scritto: una volta calcolato un integrale indefinito - se non è troppo complesso e hai tempo - prova a derivare la funzione ottenuta.. vedi subito da te se hai fatto bene).