Difficoltà risoluzione integrale doppio
Ciao, mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta creando non pochi problemi e dopo svariati tentativi ho ceduto chiedendo una mano prima di impazzire 
Si tratta di risolvere questo integrale doppio:
$\int int (x^2+y^2)/(x+y) dxdy$
dove D è il triangolo definito dalle seguenti disequazioni:
$x<=1$
$y<=1$
$x+y>=1$
Mi vergogno quasi a dirlo...ma incontro già difficoltà nel determinare gli intervalli di integrazione.
È la prima volta che incontro un triangolo definito tramite 3 disequazioni e nei precedenti esercizi ho sempre avuto a disposizione punti o equazioni di curve. Ho fatto diversi tentativi...ma sono appunto tentativi... qual è il modo corretto di procedere?
La seconda difficoltà la incontro nella risoluzione degli integrali (ho provato perlomeno a farli, cosi da poter provare gli estremi di integrazione).
Ho scomposto l'integrale in dy in questo modo
$int (x^2+y^2)/(x+y) dy = int (x^2)/(x+y) dy + int (y^2)/(x+y) dy$
Ottenendo
$int (x^2)/(x+y) dy = x^2 ln|x+y|
Per $int (y^2)/(x+y) dy$ ho provato con l'integrazioni per parti però mi viene qualche dubbio perchè alla seconda applicazione ottengo "cose che voi umani non potreste immaginarvi"
.
Citazioni a parte quel che viene fuori mi sembra troppo lungo e non semplificabile (scusatemi se non la riporto ma è per questo motivo) e ciò mi porta a nutrire qualche dubbio sul metodo utilizzato o su qualche errore nei passaggi
Grazie per qualunque risposta
Si tratta di risolvere questo integrale doppio:
$\int int (x^2+y^2)/(x+y) dxdy$
dove D è il triangolo definito dalle seguenti disequazioni:
$x<=1$
$y<=1$
$x+y>=1$
Mi vergogno quasi a dirlo...ma incontro già difficoltà nel determinare gli intervalli di integrazione.
È la prima volta che incontro un triangolo definito tramite 3 disequazioni e nei precedenti esercizi ho sempre avuto a disposizione punti o equazioni di curve. Ho fatto diversi tentativi...ma sono appunto tentativi... qual è il modo corretto di procedere?
La seconda difficoltà la incontro nella risoluzione degli integrali (ho provato perlomeno a farli, cosi da poter provare gli estremi di integrazione).
Ho scomposto l'integrale in dy in questo modo
$int (x^2+y^2)/(x+y) dy = int (x^2)/(x+y) dy + int (y^2)/(x+y) dy$
Ottenendo
$int (x^2)/(x+y) dy = x^2 ln|x+y|
Per $int (y^2)/(x+y) dy$ ho provato con l'integrazioni per parti però mi viene qualche dubbio perchè alla seconda applicazione ottengo "cose che voi umani non potreste immaginarvi"
. Citazioni a parte quel che viene fuori mi sembra troppo lungo e non semplificabile (scusatemi se non la riporto ma è per questo motivo) e ciò mi porta a nutrire qualche dubbio sul metodo utilizzato o su qualche errore nei passaggi
Grazie per qualunque risposta
Risposte
Rispondo al volo senza pensarci quasi per nulla: hai pensato al teorema di Green (o alle formule di Gauss-Green, non so come chiami questo risultato)? Il bordo del dominio è una curva regolare (a tratti) dalla parametrizzazione molto semplice.
Grazie della risposta praticamente immediata.
hem no, non ci ho pensato al teorema di Green....perchè è la prima volta che lo sento.
Le mi conoscenze nel campo sono (ahimè) piuttosto limitate. Sono al primo anno di Informatica...questo forse vi può far avere un'idea degli strumenti e delle conoscenze di cui potrei essere in possesso
hem no, non ci ho pensato al teorema di Green....perchè è la prima volta che lo sento.
Le mi conoscenze nel campo sono (ahimè) piuttosto limitate. Sono al primo anno di Informatica...questo forse vi può far avere un'idea degli strumenti e delle conoscenze di cui potrei essere in possesso
Riguardo l'intervallo di integrazione ti do un consiglio: fai un disegno e colora la zona in cui integri. Poi prendi una delle due variabili e guarda dove varia in $RR$. Dopo di che cerca di guardare (aiutandoti con le diseguaglianze e il disegno) come varia l'altra in funzione della prima. Prova, se hai difficoltà ancora posta di nuovo.
Per l'integrale da cui esce fuori lavoro per Dylan Dog, basta che osservi che $y^2$ ha grado maggiore di $x+y$ (considera $x$ una costante) quindi devi fare la divisione tra polinomi. Poi vedrai che starai meglio!
Paola
Per l'integrale da cui esce fuori lavoro per Dylan Dog, basta che osservi che $y^2$ ha grado maggiore di $x+y$ (considera $x$ una costante) quindi devi fare la divisione tra polinomi. Poi vedrai che starai meglio!
Paola
Grazie. In effetti non mi era minimamente passato per le testa di provare con la divisione tra polinomi... provo subito.
Per quanto riguarda l'intervallo di integrazione. Il disegno è sempre la prima cosa che faccio in questi casi..però sinceramente non so come ottenere una superificie delimitata e più precisamente un triangolo, come specificato nel testo.
Come possono descrivermi un triangolo 3 disequazioni?
Sinceramente non ho la più pallida idea di come e cosa disegnare se non due rette in x=1 e y=1 per limitare il piano
Per quanto riguarda l'intervallo di integrazione. Il disegno è sempre la prima cosa che faccio in questi casi..però sinceramente non so come ottenere una superificie delimitata e più precisamente un triangolo, come specificato nel testo.
Come possono descrivermi un triangolo 3 disequazioni?
Sinceramente non ho la più pallida idea di come e cosa disegnare se non due rette in x=1 e y=1 per limitare il piano
Ecco. Prima ho tracciato le condizioni $x,y <=1$ poi ho visto $y>=1-x$, ho tracciato la retta $y= 1-x$ e facendo una prova con un punto che stava "sopra" ad essa ho visto che la zona giusta era quella.
Paola
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