Difficoltà risolutive per limite di funzione
Buonasera,
è il mio primo post sul vostro forum e spero di aver rispettato tutte le regole necessarie e sufficienti per far si che mi venga data una mano
mi sono ritrovato faccia a faccia con questo limite, ma non ne vengo a capo: quale approccio dovrei intraprendere? Pensavo di poterlo risolvere tramite il confronto tra infiniti ma non ho avuto risultati esaustivi
vi ringrazio in anticipo, il linmite è il seguente:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}}$
è il mio primo post sul vostro forum e spero di aver rispettato tutte le regole necessarie e sufficienti per far si che mi venga data una mano
mi sono ritrovato faccia a faccia con questo limite, ma non ne vengo a capo: quale approccio dovrei intraprendere? Pensavo di poterlo risolvere tramite il confronto tra infiniti ma non ho avuto risultati esaustivi
vi ringrazio in anticipo, il linmite è il seguente:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}}$
Risposte
Ciao benvenuto sul forum.. ti consiglio di dare un'occhiata alle regole per le formule per la prossima volta
Comunque il sistema è quello di raccogliere il fattore che tende più veloce ad infinito..in questo caso l'esponenziale..prima peró di consiglio di applicare le proprietà delle potente.
Comunque il sistema è quello di raccogliere il fattore che tende più veloce ad infinito..in questo caso l'esponenziale..prima peró di consiglio di applicare le proprietà delle potente.
Ciao Ciusa,
Benvenuto sul forum. Onde evitare di essere poi giustamente ripresi dai moderatori, come ti ha già scritto anche Anacleto13 ti suggerisco di dare un'occhiata al regolamento e poi modificare il tuo post iniziale eliminando l'immagine e scrivendo l'espressione del limite che hai proposto come specificato in questo link. Ti assicuro che non è poi così difficile...
Anzi guarda, visto che è il tuo primo messaggio, farò di più: ti scrivo io il limite che hai proposto, così puoi semplicemente copiare la formula che ti ho scritto selezionandola col pulsante destro del mouse e scegliendo Show Math As > AsciiMath Input e poi racchiudendola fra due simboli di \$...\$.
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}}$
Ora che l'abbiamo scritto, facciamo qualche considerazione preliminare per risolverlo. I limiti di questo tipo, per $x \to +\infty$, tipicamente si risolvono considerando che nella gara a chi va all'infinito più rapidamente fra gli esponenziali ed i polinomi "vincono" gli esponenziali... Ciò detto, si ha:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}} = lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 2^{2x + 4}e^{x/2}}$
A questo punto, dividendo numeratore e denominatore per il termine a denominatore che tende all'infinito più rapidamente si ha:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 2^{2x + 4}e^{x/2}} = lim_{x \to +\infty} frac{frac{x^5 e^x}{2^{2x + 4}e^{x/2}} - frac{2^{3x - 1}}{2^{2x + 4}e^{x/2}}}{frac{x^9}{ 2^{2x + 4}e^{x/2}} + 1} = lim_{x \to +\infty} frac{frac{x^5 e^{x/2}}{2^{2x + 4}} - frac{2^{x - 5}}{e^{x/2}}}{frac{x^9}{ 2^{2x + 4}e^{x/2}} + 1} = frac{0 - \infty}{0 + 1} = -\infty$
Benvenuto sul forum. Onde evitare di essere poi giustamente ripresi dai moderatori, come ti ha già scritto anche Anacleto13 ti suggerisco di dare un'occhiata al regolamento e poi modificare il tuo post iniziale eliminando l'immagine e scrivendo l'espressione del limite che hai proposto come specificato in questo link. Ti assicuro che non è poi così difficile...
Anzi guarda, visto che è il tuo primo messaggio, farò di più: ti scrivo io il limite che hai proposto, così puoi semplicemente copiare la formula che ti ho scritto selezionandola col pulsante destro del mouse e scegliendo Show Math As > AsciiMath Input e poi racchiudendola fra due simboli di \$...\$.
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}}$
Ora che l'abbiamo scritto, facciamo qualche considerazione preliminare per risolverlo. I limiti di questo tipo, per $x \to +\infty$, tipicamente si risolvono considerando che nella gara a chi va all'infinito più rapidamente fra gli esponenziali ed i polinomi "vincono" gli esponenziali... Ciò detto, si ha:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 4^{x + 2}e^{x/2}} = lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 2^{2x + 4}e^{x/2}}$
A questo punto, dividendo numeratore e denominatore per il termine a denominatore che tende all'infinito più rapidamente si ha:
$lim_{x \to +\infty} frac{x^5 e^x - 2^{3x - 1}}{x^9 + 2^{2x + 4}e^{x/2}} = lim_{x \to +\infty} frac{frac{x^5 e^x}{2^{2x + 4}e^{x/2}} - frac{2^{3x - 1}}{2^{2x + 4}e^{x/2}}}{frac{x^9}{ 2^{2x + 4}e^{x/2}} + 1} = lim_{x \to +\infty} frac{frac{x^5 e^{x/2}}{2^{2x + 4}} - frac{2^{x - 5}}{e^{x/2}}}{frac{x^9}{ 2^{2x + 4}e^{x/2}} + 1} = frac{0 - \infty}{0 + 1} = -\infty$
Vi ringrazio,e mi scuso per non aver rispettato le regole. Mi allenerò con il linguaggio ASCII per evitare questi problemi. Riguardo al limite, è tutto molto chiaro, ma il mio problema sta nel saper individuare il metodo giusto per la risoluzione. In questo caso ad esempio , dovrei andare a tentativi applicando i vari metodi, oppure tutti i limiti di questo tipo si risolvono in questo modo?
grazie ancora.
grazie ancora.
La seconda che hai detto... 
In questo caso basta notare che:
- [*:1rbb8hp0] al numeratore il termine $2^(3x-1) = 1/2* 8^x$ si mangia (e lo digerisce pure!) il termine $x^5* e^x$, quindi il termine d'ordine maggiore è:
\[
-2^{3x-1}\; ;
\]
[/*:m:1rbb8hp0]
[*:1rbb8hp0] al denominatore il termine $4^x * e^(x/2) = 4^x * 4^(log_4 e^(x/2)) = 2^(2(x+(\log_4 e)/2 x))=2^((2+\log_4 e)x)$ si mangia (e lo digerisce pure velocemente!) il termine $x^9$, quindi l'infinito d'ordine maggiore è:
\[
4^{x}\ e^{x/2} = 2^{(2+\log_4 e) x} = 2^{(2+\frac{1}{2\log 2})x}\; ;
\][/*:m:1rbb8hp0][/list:u:1rbb8hp0]
quindi il tuo limite equivale al:
\[
\lim_{x\to +\infty} -2^{3x-1 - (2+\frac{1}{2\log 2})x} = \lim_{x\to +\infty} -2^{(1-\frac{1}{2\log 2})x - 1} = -(+\infty) = -\infty
\]
con la penultima uguaglianza valida perché $1-1/(2\log 2)>0$.
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