Difficoltà notazioni derivate parziali e definizioni differenziale
Sto avendo una leggera difficoltà con con le notazioni di derivata parziale perché il libro e la mia professoressa ne usano differenti. (Magari è lana caprina però mi urta)
In particolare: il libro scrive dato un punto $x=(x_1,x_2,...,x_n)$, $f_(x_i)(x)$ per intendere la derivata parziale rispetto alla coordinata $x_i$ nel punto $x$; invece la mia professoressa $(partial f)/(partial x_i)(x)$.
Quello che non mi è chiaro è che se volessi calcolare una derivata parziale, per un certo valore $x_0$, cosa dovrei scrivere? $(partial f)/(partial x_i)(x)(x_0)$? perché una notazione del tipo $(partial f)/(partial x_i)(x_0)$ mi farebbe intendere la derivata parziale della coordinata $x_i$ nel punto $x_0$. Però ad esempio in una dimostrazione del differenziale totale utilizza questa notazione $(partial f)/(partial x)(xi_x,y_0+k)$ che vorrebbe essere equivalente alla scrittura $f_x(xi_x,y_0+k)$ ma per me non ha senso.
Il gradiente viene annotato con $Df(x)=(f_(x_1)(x),f_(x_2)(x),...,f_(x_n)(x))$. Utilizzando il nabla e la notazione della professoressa dovrebbe essere $nablaf(x)=((partial f)/(partial x_1)(x),(partial f)/(partial x_2)(x),...,(partial f)/(partial x_n)(x))$ e qui niente di strano, credo.
Per quanto riguarda il dubbio in merito al differenziale, tenendo presente il Marcellini-Sbordone, non mi è chiara la scrittura con l'o-piccolo e la dimostrazione che fa sull'equivalenza delle definizioni di differenziabilità. Vi riporto per il intero il tutto.
Sia $A$ un aperto di $\RR^n$ e $f:A->\RR$. Si dice che $f$ è differenziabile nel punto $x\inA$ se è derivabile in $x$ e se vale la relazione di limite $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-(nablaf(x),h))/|h|=0$ dove $(nablaf(x),h))$ è il prodotto scalare tra h e il gradiente.
Più generale è la seguente definizione di funzione differenziabile in un punto: $f$ è differenziabile nel punto $x$ se esiste un funzionale lineare $L:\RR^n-\RR$ per cui vale la relazione di limite $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-L(h))/|h|=0$
Prima domanda. che fine ha fatto la condizione di derivabilità? La sta dando per scontato?
Ricordando che su $\RR^n$ ogni funzionale lineare si rappresenta come prodotto scalare, cioè che per ogni funzione lineare $L$ esiste un vettore $l\in\RR^n$ tale che $L(h)=(l,h) \forall h\in\RR^n$, si può riscrivere
$lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-(l,h))/|h|=0$
Se $l$ ha componenti $l=(l_i)$ fissato $i\in{1,2,...,n}$, posto $h=te_i=(0,...,0,t,0,...,0)$ con $t\in\RR$ otteniamo
$lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x)-tl_i)/|t|=0$ e anche equivalentemente, calcolando separatamente il limite per $t->0^+" e " t->0^-$, $lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x)-tl_i)/t=0$ da cui segue subito $lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x))/t=l_i$
Non ho capito da dove ha tirato fuori quest'ultimo risultato
per cui $f$ ammette in $x$ derivata parziale e tale derivata vale $(partial f)/(partial x_i)=l_i$. Ripetendo l'argomento per ogni $i$ si ottiene $nablaf=l$ e anche $(nablaf(x),h)=(l,h)=L(h) forall h\in\RR^n$ pertanto sono equivalenti le definizioni.
Infine dice, utilizzando il simbolo di o-piccolo, risulta che la funzione $f(x)$, definita nell'aperto $A$, è differenziabile in $x\inA$ se è derivabile in $x$ e se f(x+h)=f(x)+(nablaf(x),h)+o(|h|)$ per $h->0$.
Non ho per niente chiaro da dove ha tirato fuori questa relazione
Vi ringrazio anticipatamente!
In particolare: il libro scrive dato un punto $x=(x_1,x_2,...,x_n)$, $f_(x_i)(x)$ per intendere la derivata parziale rispetto alla coordinata $x_i$ nel punto $x$; invece la mia professoressa $(partial f)/(partial x_i)(x)$.
Quello che non mi è chiaro è che se volessi calcolare una derivata parziale, per un certo valore $x_0$, cosa dovrei scrivere? $(partial f)/(partial x_i)(x)(x_0)$? perché una notazione del tipo $(partial f)/(partial x_i)(x_0)$ mi farebbe intendere la derivata parziale della coordinata $x_i$ nel punto $x_0$. Però ad esempio in una dimostrazione del differenziale totale utilizza questa notazione $(partial f)/(partial x)(xi_x,y_0+k)$ che vorrebbe essere equivalente alla scrittura $f_x(xi_x,y_0+k)$ ma per me non ha senso.
Il gradiente viene annotato con $Df(x)=(f_(x_1)(x),f_(x_2)(x),...,f_(x_n)(x))$. Utilizzando il nabla e la notazione della professoressa dovrebbe essere $nablaf(x)=((partial f)/(partial x_1)(x),(partial f)/(partial x_2)(x),...,(partial f)/(partial x_n)(x))$ e qui niente di strano, credo.
Per quanto riguarda il dubbio in merito al differenziale, tenendo presente il Marcellini-Sbordone, non mi è chiara la scrittura con l'o-piccolo e la dimostrazione che fa sull'equivalenza delle definizioni di differenziabilità. Vi riporto per il intero il tutto.
Sia $A$ un aperto di $\RR^n$ e $f:A->\RR$. Si dice che $f$ è differenziabile nel punto $x\inA$ se è derivabile in $x$ e se vale la relazione di limite $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-(nablaf(x),h))/|h|=0$ dove $(nablaf(x),h))$ è il prodotto scalare tra h e il gradiente.
Più generale è la seguente definizione di funzione differenziabile in un punto: $f$ è differenziabile nel punto $x$ se esiste un funzionale lineare $L:\RR^n-\RR$ per cui vale la relazione di limite $lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-L(h))/|h|=0$
Prima domanda. che fine ha fatto la condizione di derivabilità? La sta dando per scontato?
Ricordando che su $\RR^n$ ogni funzionale lineare si rappresenta come prodotto scalare, cioè che per ogni funzione lineare $L$ esiste un vettore $l\in\RR^n$ tale che $L(h)=(l,h) \forall h\in\RR^n$, si può riscrivere
$lim_(h->0) (f(x+h)-f(x)-(l,h))/|h|=0$
Se $l$ ha componenti $l=(l_i)$ fissato $i\in{1,2,...,n}$, posto $h=te_i=(0,...,0,t,0,...,0)$ con $t\in\RR$ otteniamo
$lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x)-tl_i)/|t|=0$ e anche equivalentemente, calcolando separatamente il limite per $t->0^+" e " t->0^-$, $lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x)-tl_i)/t=0$ da cui segue subito $lim_(t->0) (f(x+te_i)-f(x))/t=l_i$
Non ho capito da dove ha tirato fuori quest'ultimo risultato
per cui $f$ ammette in $x$ derivata parziale e tale derivata vale $(partial f)/(partial x_i)=l_i$. Ripetendo l'argomento per ogni $i$ si ottiene $nablaf=l$ e anche $(nablaf(x),h)=(l,h)=L(h) forall h\in\RR^n$ pertanto sono equivalenti le definizioni.
Infine dice, utilizzando il simbolo di o-piccolo, risulta che la funzione $f(x)$, definita nell'aperto $A$, è differenziabile in $x\inA$ se è derivabile in $x$ e se f(x+h)=f(x)+(nablaf(x),h)+o(|h|)$ per $h->0$.
Non ho per niente chiaro da dove ha tirato fuori questa relazione
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Per quanto riguarda le notazioni sul simbolo di derivata: ti sconsiglio di entrare in queste elucubrazioni (anche se immagino sia inevitabile). Sono notazioni, sono strumenti da usare e non opere da contemplare. Ancora peggio, queste notazioni non sono sempre consistenti al 100%. Devi imparare a *usarle*, non a osservarle. Questo lo dico perché io ci ho perso parecchio tempo, e a volte ancora oggi mi capita di incasinarmi, ma ragionare sui principi astratti non mi ha mai portato da nessuna parte. Se vuoi ragionare su qualcosa, ragiona sugli esempi concreti. Così si fanno dei progressi reali.
Per quanto riguarda l'altra domanda, la derivabilità parziale segue dalla differenziabilità, usando proprio l'argomento del libro. Una funzione differenziabile ammette, per definizione, un funzionale lineare $L$ tale che (etc...). Valutando il limite lungo ciascuna direzione, viene fuori che $L$ è dato proprio da $\nabla f$, e in particolare $f$ è derivabile lungo ciascuna direzione. Non è niente di profondo.
Per quanto riguarda l'altra domanda, la derivabilità parziale segue dalla differenziabilità, usando proprio l'argomento del libro. Una funzione differenziabile ammette, per definizione, un funzionale lineare $L$ tale che (etc...). Valutando il limite lungo ciascuna direzione, viene fuori che $L$ è dato proprio da $\nabla f$, e in particolare $f$ è derivabile lungo ciascuna direzione. Non è niente di profondo.
Grazie per la risposta! Chiaro è che non voglio dannarmi però devo pur comprendere parzialmente l'utilizzo di questi linguaggi. Se inizio ad adottare notazioni tutte mie rischio solo di essere incompreso, no?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo