Difficoltà nel comprendere successione ricorsive
Salve a tutti,sono in difficoltà con questo tipo di successioni,mi spiego meglio il mio professore come esercizi spesso ci ha dato di dover trovare il limite della successione e poi successivamente tramite questo usando il principio di induzione determina ma monotonia di questa,ovvero se è crescente e così via,li per li mi sembra di averle capite perfettamente,ma poi a casa quando provo da solo,trovo molte difficoltà,vorrei chiedervi se potreste illustrarmi questo metodo spiegandomi soprattutto come è possibile trovare la monotonia di una successione di questo tipo per induzione e trovando il limite,vi allego un esempio nella speranza che qualcuno me lo possa spiegare.Grazie a chi perderà un po di tempo per chiarirmi questi dubbi:
$ a_0=1 $
$ a_n+1 =a_n e^(sqrt(a_n)) $
$ a_0=1 $
$ a_n+1 =a_n e^(sqrt(a_n)) $
Risposte
Vuoi provare ad esempio
$a_n=exp(sum_(k=0)^(n-1) sqrt a_k)$ , $n in NN$
(dove considero $exp(x)=e^x$)?
La prova per induzione è semplice. La base induttiva è vera. Assumiamo l'ipotesi induttiva, da cui abbiamo
$a_(n+1)=a_n e^sqrt(a_n)=exp(sum_(k=0) ^n sqrt a_k)$:
la dimostrazione per induzione è conclusa.
A questo punto si può dire anche che la successione è strettamente monotona.
$a_n=exp(sum_(k=0)^(n-1) sqrt a_k)$ , $n in NN$
(dove considero $exp(x)=e^x$)?
La prova per induzione è semplice. La base induttiva è vera. Assumiamo l'ipotesi induttiva, da cui abbiamo
$a_(n+1)=a_n e^sqrt(a_n)=exp(sum_(k=0) ^n sqrt a_k)$:
la dimostrazione per induzione è conclusa.
A questo punto si può dire anche che la successione è strettamente monotona.
Scusa ma davvero non ho capito molto,il professore in pratica ci fa seguire una sorta di procedimento:prendere in considerazione la funzione generatrice; trovare i punti fissi;fare una veloce studio di funzione della funzione generatrice in modo da trovarne il limite,e poi usare questo e il punto fisso per determinarne la monotonia per induzione, quindi capire se la successione è crescente o decrescente.Forse così sono stato più chiaro o almeno spero ahaha.Mi potete aiutare spiegandomi questi ultimi punti, cioè trovare il limite e la monotonia?
Di solito la prima cosa che noti è la monotonia, se la successione è monotona allora il limite esiste (altrimenti non è detto).
La tua successione non è limitata per esempio, e inoltre è crescente. Non puoi applicare il punto fisso, se tale punto non esiste. Questo caso che hai proposto è un pò degenere.
Per dimostrare la monotonia basta notare che
$a_n<=a_n* e^((a_n)^(1/2))$ per ogni $a_n>=1$, dato che inizi con $a_0=1$ (passo base) per induzione si dimostra facilmente la crescenza.
Quindi il limite esiste, supponiamo che sia reale.
avrei definitivamente $l=l*e^l$ quindi l=0, assurdo dato che ${a_n}$ è crescente, quindi necessariamente $l=oo$
La tua successione non è limitata per esempio, e inoltre è crescente. Non puoi applicare il punto fisso, se tale punto non esiste. Questo caso che hai proposto è un pò degenere.
Per dimostrare la monotonia basta notare che
$a_n<=a_n* e^((a_n)^(1/2))$ per ogni $a_n>=1$, dato che inizi con $a_0=1$ (passo base) per induzione si dimostra facilmente la crescenza.
Quindi il limite esiste, supponiamo che sia reale.
avrei definitivamente $l=l*e^l$ quindi l=0, assurdo dato che ${a_n}$ è crescente, quindi necessariamente $l=oo$
Grazie mille della spiegazione ora è molto più chiaro e avrei due leggeri dubbi,dimostro che che è crescente facendo il passo induttivo poiché $ a_n_+_1>=a_n$ giusto?quindi sarà crescente,unvece per trovare il limite posso anche trovarlo studiando la funzione generatrice?
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