Difficoltà limite

[bblack25]

Salve a tutti,
avrei problemi con questo limite
$limx->0(log(1+x)cosx-x+x^2/2)/(tanx^3)$
dovrebbe essere facilmente risolvibile con i limiti notevoli ma non mi riesce.
Grazie della disponibilità.

[lordb]

Conosci lo sviluppo in serie di potenze, oppure quello in serie di Taylor/MacLaurin ?

[bblack25]

non abbastanza..è l'unico modo per risolverlo quello??

[lordb]

Certo che no, ma è più immediato sfruttare le equivalenze date dagli sviluppi piuttosto che i limiti notevoli.

Comunque se scrivo:

$log(1+x)sim_(x->0) x$ comprendi cosa vuol dire ?

[bblack25]

l'asintoticità giusto?

[lordb]

Vuol dire che sono equivalenti asintoticamente, ovvero che:

$lim_(x->0) log(1+x)/x = lim_(x->0) x/log(1+x)=1$

Naturalmente conviene incominciare dal denominatore $tan(x^3)$ o $tan^3(x)$ ?.

[bblack25]

$tan(x^3)$

[Sk_Anonymous]

In effetti la scrittura $\tan x^3$ credo che andrebbe interpretata come $\tan(x^3)$.
In questo particolare caso però la cosa è assolutamente irrilevante dato che $\tan(x^3)\sim_{x->0}(\tan x)^3$ (qualcuno mi corregga se sbaglio).

[lordb]

Si Alfius sono equivalenti (ricordo però che se fosse necessario uno sviluppo asintotico invece che una semplice equivalenza non andrebbe bene usare l'una o l'altra).

@bblack25

$log(1+x) *cos(x) sim_(x->0) x-x^2/2-x^3/6$

$tan(x^3) sim_(x->0) x^3$

$(log(1+x)cos(x)-x+x^2/2)/tan(x^3) sim_(x->0) (x-x^2/2-x^3/6-x+x^2/2)/x^3 = -1/6$

Attenzione comunque ad usare le equivalenze asintotiche con le somme, non è detto che, se ($f,g,h,q,k$ sono funzioni scalari di variabile reale):

$f + g = h $ e $f sim q^^ g sim k$ allora $h sim q+k$ !!

[bblack25]

okok grazie!!

[lordb]

Lo sviluppo in serie di MacLaurin del coseno al quarto ordine sarebbe:

$cos(x)=1-x^2/2+x^4/(4!) + o(x^5)$

Ma non ti serve svilupparlo così tanto in questo esercizio.