Difficoltà intervalli di continuità di una funzione.
Salve,
Mi sono accorto di avere notevoli difficoltà nel dover stabilire dove e se una funzione, ad esempio definita a tratti, è continua o meno.
Prendo come esempio la funzione:
[tex]f(x) = \begin{cases}\log|x| & x\le -1\\
1-\sqrt {2-x^2} & -1 < x < 1\\\ (x-1)e^{1/x} & x \ge 1 \end{cases}[/tex]
vorrei chiedere andare a vedere se:
1) la prima è continua sia alla sinistra che alla destra di -1
2) la seconda è continua alla sinistra che alla destra di -1 e alla sinistra e alla destra di 1
3) la terza è continua alla destra e alla sinistra di 1
sono delle operazioni inutili? Provare che questa funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$ richiede un procedimento meno laborioso, magari mediante degli accorgimenti?
Mi sono accorto di avere notevoli difficoltà nel dover stabilire dove e se una funzione, ad esempio definita a tratti, è continua o meno.
Prendo come esempio la funzione:
[tex]f(x) = \begin{cases}\log|x| & x\le -1\\
1-\sqrt {2-x^2} & -1 < x < 1\\\ (x-1)e^{1/x} & x \ge 1 \end{cases}[/tex]
vorrei chiedere andare a vedere se:
1) la prima è continua sia alla sinistra che alla destra di -1
2) la seconda è continua alla sinistra che alla destra di -1 e alla sinistra e alla destra di 1
3) la terza è continua alla destra e alla sinistra di 1
sono delle operazioni inutili? Provare che questa funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$ richiede un procedimento meno laborioso, magari mediante degli accorgimenti?
Risposte
Hai scritto un $x<=-1$ nel primo pezzo, correggi: è $x<1$. Ora se come credo hai sbagliato a scrivere e il secondo pezzo è per $-1<=x<1$, la funzione è definita su tutto $RR$ e quindi bisogna chiedersi se sia continua in ogni punto di $RR$.
Negli intervalli $(-\infty, -1),\ (-1, 1),\ (1, +\infty)$ la funzione coincide con delle composizioni di funzioni elementari che sono continue per noti teoremi e dunque è continua. Restano esclusi i punti $-1, 1$ che devi discutere a parte. Questo preambolo lo hai compreso? Spesso non lo si fa, dandolo per scontato, ma è un grave errore quando si è agli inizi.
P.S.: E un'altra cosa. Anche se si può parlare di "continuità da destra e da sinistra", io non lo farei. Lascia stare. Dato un punto, nel quale una funzione è definita, la stessa funzione può essere continua oppure non esserlo, niente terze vie.
Discutere la continuità, quindi, significa mettersi in grado di poter affermare, per ogni punto dell'insieme di definizione della funzione data, se essa sia continua o meno.
Negli intervalli $(-\infty, -1),\ (-1, 1),\ (1, +\infty)$ la funzione coincide con delle composizioni di funzioni elementari che sono continue per noti teoremi e dunque è continua. Restano esclusi i punti $-1, 1$ che devi discutere a parte. Questo preambolo lo hai compreso? Spesso non lo si fa, dandolo per scontato, ma è un grave errore quando si è agli inizi.
P.S.: E un'altra cosa. Anche se si può parlare di "continuità da destra e da sinistra", io non lo farei. Lascia stare. Dato un punto, nel quale una funzione è definita, la stessa funzione può essere continua oppure non esserlo, niente terze vie.
Discutere la continuità, quindi, significa mettersi in grado di poter affermare, per ogni punto dell'insieme di definizione della funzione data, se essa sia continua o meno.
1) Non ho capito perchè $\log|x|$ non può essere definita per $x=-1$. In fondo $\log|-1|=0$
2) Non mi ricordo una cosa: $|x|$ è continua $\forall x\in \mathbb{R}$ vero?
2) Non mi ricordo una cosa: $|x|$ è continua $\forall x\in \mathbb{R}$ vero?
Dissonance, perchè pensi che abbia sbagliato a scrivere il primo pezzo? Non capisco il perchè del $x < 1$.Così come l'ha definita lui, a me sembra corretta...
$|x|$ è continua [tex]\forall x \in R[/tex]. ( Tutt'al più non è derivabile in 0 )
$|x|$ è continua [tex]\forall x \in R[/tex]. ( Tutt'al più non è derivabile in 0 )
"Orlok":
1) Non ho capito perchè $\log|x|$ non può essere definita per $x=-1$. In fondo $\log|-1|=0$
2) Non mi ricordo una cosa: $|x|$ è continua $\forall x\in \mathbb{R}$ vero?
1) Infatti è definita per $x = -1$.
2) Certamente.
Il dominio è $RR - {0}$ (di $log|x|$ )
Si scusate ho sbagliato. Del resto era da almeno due giorni che non capitava, non poteva durare. 
Comunque a parte questo fatto il discorso è lo stesso. Insisto: bisogna iniziare col dire perché possiamo affermare subito che la funzione è continua negli intervalli $(-\infty, -1),\ (-1, 1),\ (1, \+infty)$. Se ci è chiaro questo, ci sarà anche chiaro come procedere per stabilire se essa è continua o meno nei punti $-1, 1$.
Se invece, davanti a funzioni definite da singole espressioni come ad esempio
[tex]\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}[/tex]
per analizzare la continuità abbiamo proceduto a macchinetta, ponendo denominatori diversi da zero e argomenti di radice maggiori o uguali a zero senza sapere cosa davvero stessimo facendo, allora adesso avremo problemi.
Comunque a parte questo fatto il discorso è lo stesso. Insisto: bisogna iniziare col dire perché possiamo affermare subito che la funzione è continua negli intervalli $(-\infty, -1),\ (-1, 1),\ (1, \+infty)$. Se ci è chiaro questo, ci sarà anche chiaro come procedere per stabilire se essa è continua o meno nei punti $-1, 1$.
Se invece, davanti a funzioni definite da singole espressioni come ad esempio
[tex]\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}[/tex]
per analizzare la continuità abbiamo proceduto a macchinetta, ponendo denominatori diversi da zero e argomenti di radice maggiori o uguali a zero senza sapere cosa davvero stessimo facendo, allora adesso avremo problemi.
Non capisco perchè dici di non utilizzare i limiti da destra e da sinistra?
Per esempio, ho provato a fare
$\lim_{x\to -1^-} \log |x|=0$
$\lim_{x\to -1^+} 1-\sqrt {2-x^2}=0$
$\lim_{x\to 1^-} 1-\sqrt {2-x^2}=0$
$\lim_{x\to 1^+} (x-1)e^{1/x}=0$
e quindi la funzione è continua su tutto $\mathbb {R}$
Non va bene?
Per esempio, ho provato a fare
$\lim_{x\to -1^-} \log |x|=0$
$\lim_{x\to -1^+} 1-\sqrt {2-x^2}=0$
$\lim_{x\to 1^-} 1-\sqrt {2-x^2}=0$
$\lim_{x\to 1^+} (x-1)e^{1/x}=0$
e quindi la funzione è continua su tutto $\mathbb {R}$
Non va bene?
Non ho mai detto di "non utilizzare i limiti da destra e da sinistra". Ho detto invece di non parlare di "continuità da destra e da sinistra", è diverso. Più in generale vorrei far passare il messaggio: non ci limitiamo a impostare limiti a macchinetta, spieghiamo sempre bene cosa stiamo facendo, quali teoremi stiamo applicando e perché. Altrimenti poi appena cambia di un millimetro la tipologia di esercizio che ci troviamo di fronte ecco che cadiamo come pere mature.
Nello specifico, i calcoli che hai fatto vanno bene, ma penso ti possa servire cercare di fornire una spiegazione completa del perché la funzione data è continua su tutto $RR$. Tu hai scritto quattro limiti e hai concluso che la funzione è continua. Perché? Se hai voglia, prova a rispondere a questa domanda.
Nello specifico, i calcoli che hai fatto vanno bene, ma penso ti possa servire cercare di fornire una spiegazione completa del perché la funzione data è continua su tutto $RR$. Tu hai scritto quattro limiti e hai concluso che la funzione è continua. Perché? Se hai voglia, prova a rispondere a questa domanda.
Perchè per definizione di funzione continua deve accadere che $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ e se si verifica che $\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$ allora la funzione è continua. Effettivamente devo ancora verificare che $f(-1)=0$ ed $f(1)=0$ affinché la "saldatura" sia completa, anche se risulta abbastanza immediato.
Come ti pare come ragionamento?
Come ti pare come ragionamento?
Ok. E perché la funzione è continua, ad esempio, nel punto $x=50$?
Perchè il $\lim_{x\to 50} (x-1)e^{1/x}=49e^{1/50}=f(50)=\lim_{x\to 50^-} (x-1)e^{1/x}=\lim_{x\to 50^+} (x-1)e^{1/x}$ , no?
Si si, ma potevi tralasciare i limiti da destra e da sinistra qui. Basta scrivere: $f(50)=lim_{x\to 50}f(x)$. Ok. E se una funzione è definita in un punto isolato, per esempio la
$f(x)={(x, x>1), (0, x=0):}$
cosa possiamo dire? $f$ è continua in $0$?
$f(x)={(x, x>1), (0, x=0):}$
cosa possiamo dire? $f$ è continua in $0$?
Si perchè $\lim_{x\to 0} 0=0$; infatti le successioni che sono definite in punti isolati sono tutte continue
[Quella che segue è una sottigliezza, importante solo se studi Matematica.]
Non è come dici. Questo:
Comunque il lemmino a cui fai riferimento (se un certo punto nel dominio di una funzione è isolato, allora la funzione è ivi continua) è certamente vero. Anzi una definizione di continuità possibile è:
Non è come dici. Questo:
lim_{x\to0}0=0non c'entra nulla. Infatti così stai calcolando il limite di una funzione che vale $0$ in tutto un intorno di $0$. Invece la $f$ data non è definita in tutto un intorno, ma solo in $0$. In questo caso $0$ non è un punto di accumulazione per il dominio, e quindi non ha senso [size=75](*)[/size] calcolare il limite di $f$ per $x\to0$.
Comunque il lemmino a cui fai riferimento (se un certo punto nel dominio di una funzione è isolato, allora la funzione è ivi continua) è certamente vero. Anzi una definizione di continuità possibile è:
- Sia $f : A \to RR$ dove $A\subset RR$, e sia $x_0\inA$. $f$ è continua in $x_0$ se e solo se si verifica una delle due:
a) $x_0$ è un punto isolato di $A$;
b) $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$ e $lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$.[/list:u:3vaq14tb]
In particolare le funzioni $f: NN \to RR$ sono sempre continue in ogni punto del proprio dominio, perché il proprio dominio consiste solo di punti isolati. Vabbé, spero di non averti confuso le idee.
_______________________
[size=75](*)[/size]C'è stata una grossa discussione qui sul forum al riguardo. Secondo alcuni in questo caso ha senso calcolare il limite ma il valore che esso assume non è unico. Io ho preferito escludere questo caso patologico e poi modificare la definizione di continuità. Questione di gusti.
No, non confonde affatto. Grazie davvero.
Inoltre volevo chiedere se posso andare OT e continuare qui lo studio di questa funzione anziché aprire un altro topic. Attendo responso.
Inoltre volevo chiedere se posso andare OT e continuare qui lo studio di questa funzione anziché aprire un altro topic. Attendo responso.
Vai, vai.
Allora...
dopo aver provato che è continua su tutto $\mathbb{R}$ procedo nel determinare gli intervalli di derivabilità, utilizzando il teorema del limite della derivata, ossia:
[tex]$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x\le -1 \\
\frac{x}{\sqrt {2-x^2}} & -1
quindi calcolo
$\lim_{x\to -\^-} 1/x=-1$ ; $\lim_{x\to -1^+} \frac{x}{\sqrt {2-x^2}}=-1$
$\lim_{x\to 1^-} \frac{x}{\sqrt {2-x^2}}=1$ ; $\lim_{x\to 1^+} \frac{e^{1/x}(x^2-x+1)}{x^2}=e$
quindi la funzione è derivabile su $\mathbb{R}-{1}$ e nel punto $(1,0)$ ha un punto angoloso le cui tangenti sono $y_1=e(x-1)$ ed $y_2=x-1$ (**)
La funzione non ammette asintoti verticali, nè orizzontali. Ha invece l'asintoto obliquo definito dalla retta $y_a=x$(*) solo dalla destra. I suoi paramentri sono noti attraverso:
$\lim_{x\to +\infty} \frac{(x-1)e^{1/x}}{x}=1$
$\lim_{x\to +\infty} (x-1)e^{1/x}-x=0$ (*)
Fin qui credo di non aver sbagliato nulla. I miei dubbi arrivano agli intervalli di crescenza e decrescenza. Allora, ho trovato che:
$\forall x\in (-\infty, -1]\Rightarrow f'(x)<0$
$\forall x\in (-1,0)\Rightarrow f'(x)<0$
dunque si può scrivere che $\forall x\in (-\infty, 0)\Rightarrow f'(x)<0$. Poi:
$\forall x\in (0,1)\Rightarrow f'(x)>0$
$\forall x\in (1, +\infty)\Rightarrow f'(x)>0$
dunque si può scrivere che $\forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty) \Rightarrow f'(x)>0$
da questo ne ho dedotto che $x=0$ è un punto di minimo relativo per $f(x)$ ed essa decresce $\forall x\in (-\infty, 0)$ e cresce $\forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty)$
Come vado fin qui?
EDIT: ho sistemato le parentesi negli intervalli
EDIT 2: forse ho sbagliato a scrivere nella derivata prima l'ultima legge per $x\ge 1$; dato che in $x=1$ $f$ non è derivabile, forse avrei dovuto scrivere $x>1$ e basta.
(*) EDIT 3: Scusate avevo sbagliato il limite
(**)EDIT 4: Scusate ho sbagliato a scrivere le tangenti.
dopo aver provato che è continua su tutto $\mathbb{R}$ procedo nel determinare gli intervalli di derivabilità, utilizzando il teorema del limite della derivata, ossia:
[tex]$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x\le -1 \\
\frac{x}{\sqrt {2-x^2}} & -1
quindi calcolo
$\lim_{x\to -\^-} 1/x=-1$ ; $\lim_{x\to -1^+} \frac{x}{\sqrt {2-x^2}}=-1$
$\lim_{x\to 1^-} \frac{x}{\sqrt {2-x^2}}=1$ ; $\lim_{x\to 1^+} \frac{e^{1/x}(x^2-x+1)}{x^2}=e$
quindi la funzione è derivabile su $\mathbb{R}-{1}$ e nel punto $(1,0)$ ha un punto angoloso le cui tangenti sono $y_1=e(x-1)$ ed $y_2=x-1$ (**)
La funzione non ammette asintoti verticali, nè orizzontali. Ha invece l'asintoto obliquo definito dalla retta $y_a=x$(*) solo dalla destra. I suoi paramentri sono noti attraverso:
$\lim_{x\to +\infty} \frac{(x-1)e^{1/x}}{x}=1$
$\lim_{x\to +\infty} (x-1)e^{1/x}-x=0$ (*)
Fin qui credo di non aver sbagliato nulla. I miei dubbi arrivano agli intervalli di crescenza e decrescenza. Allora, ho trovato che:
$\forall x\in (-\infty, -1]\Rightarrow f'(x)<0$
$\forall x\in (-1,0)\Rightarrow f'(x)<0$
dunque si può scrivere che $\forall x\in (-\infty, 0)\Rightarrow f'(x)<0$. Poi:
$\forall x\in (0,1)\Rightarrow f'(x)>0$
$\forall x\in (1, +\infty)\Rightarrow f'(x)>0$
dunque si può scrivere che $\forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty) \Rightarrow f'(x)>0$
da questo ne ho dedotto che $x=0$ è un punto di minimo relativo per $f(x)$ ed essa decresce $\forall x\in (-\infty, 0)$ e cresce $\forall x\in (0, 1)\cup (1, +\infty)$
Come vado fin qui?
EDIT: ho sistemato le parentesi negli intervalli
EDIT 2: forse ho sbagliato a scrivere nella derivata prima l'ultima legge per $x\ge 1$; dato che in $x=1$ $f$ non è derivabile, forse avrei dovuto scrivere $x>1$ e basta.
(*) EDIT 3: Scusate avevo sbagliato il limite
(**)EDIT 4: Scusate ho sbagliato a scrivere le tangenti.
Se dite che va bene continuo
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