Difficoltà con una forma differenziale
Ciao a tutti, ho un problema con una forma differenziale, il testo dell'esercizio dice:
Calcolare l'integrale della forma differenziale sulla curva \(\displaystyle t \rightarrow \) \(\displaystyle (t-1,\sin(1/t)) \) per \(\displaystyle t \in [1,1/\pi]\)
\(\displaystyle \omega(x,y)=(\frac{x}{x^2+4y^2}+\frac{1}{1+x^2})dx + (\frac{4y}{x^2+4y^2} +cosy)dy \)
Ciò che ho fatto fin ora è stato integrare la prima parte in dx, derivare il risultato rispetto ad y, porre quest'ultimo risultato uguale alla seconda parte della forma differenziale per trovare c'(y) e quindi c(y), in tal modo ho trovato l'integrale generale:
\(\displaystyle \frac{1}{2} ln|x^2+4y^2|+arctg(x)+siny \)
A questo punto dovrei trovare gli estremi di x e y applicando i dati che ho sulla curva per poi sostituirli nell'integrale e calcolare \(\displaystyle f(B)-f(A) \) ... ma ponendo:
\(\displaystyle x=t-1 , y=sin(1/t) \)
con t=1 mi viene x=0 e y=sin(1) e qui nasce la mia difficoltà...non capisco questo sin(1), allora mi chiedo dove sbaglio? Non è il procedimento corretto? Ringrazio chi mi risponderà...
Calcolare l'integrale della forma differenziale sulla curva \(\displaystyle t \rightarrow \) \(\displaystyle (t-1,\sin(1/t)) \) per \(\displaystyle t \in [1,1/\pi]\)
\(\displaystyle \omega(x,y)=(\frac{x}{x^2+4y^2}+\frac{1}{1+x^2})dx + (\frac{4y}{x^2+4y^2} +cosy)dy \)
Ciò che ho fatto fin ora è stato integrare la prima parte in dx, derivare il risultato rispetto ad y, porre quest'ultimo risultato uguale alla seconda parte della forma differenziale per trovare c'(y) e quindi c(y), in tal modo ho trovato l'integrale generale:
\(\displaystyle \frac{1}{2} ln|x^2+4y^2|+arctg(x)+siny \)
A questo punto dovrei trovare gli estremi di x e y applicando i dati che ho sulla curva per poi sostituirli nell'integrale e calcolare \(\displaystyle f(B)-f(A) \) ... ma ponendo:
\(\displaystyle x=t-1 , y=sin(1/t) \)
con t=1 mi viene x=0 e y=sin(1) e qui nasce la mia difficoltà...non capisco questo sin(1), allora mi chiedo dove sbaglio? Non è il procedimento corretto? Ringrazio chi mi risponderà...
Risposte
direi che non c'è nulla di sbagliato nel tuo ragionamento
l'unica cosa che non si può guardare sta nel testo : $t in [1,1/pi]$
facciamo $t in [1/pi,1]$ e non se ne parli più
per il resto,sicuramente esiste un aperto semplicemente connesso $A$ contenente la curva in cui è definita la forma differenziale,che quindi è esatta in $A$
detto $V$ il potenziale,l'integrale è uguale a $V(Q)-V(P)$
con $P(1/pi-1,0);Q(0,sin1)$
il fatto che nel risultato compaia $sin1$ magari è brutto da vedere ma è perfettamente legale
l'unica cosa che non si può guardare sta nel testo : $t in [1,1/pi]$
facciamo $t in [1/pi,1]$ e non se ne parli più
per il resto,sicuramente esiste un aperto semplicemente connesso $A$ contenente la curva in cui è definita la forma differenziale,che quindi è esatta in $A$
detto $V$ il potenziale,l'integrale è uguale a $V(Q)-V(P)$
con $P(1/pi-1,0);Q(0,sin1)$
il fatto che nel risultato compaia $sin1$ magari è brutto da vedere ma è perfettamente legale
Anche a me sembrava strano l'intervallo...crede sia stato un errore del professore? perchè ho qui il compito da cui è tratto l'esercizio...e l'intervallo è scritto proprio così... in ogni caso grazie mille!
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