Difficoltà con questo integrale di superficie
Ciao a tutti , ho problemi con questo esercizio :
Calcolare $int_\Sigma fds$ con $f(x,y,z)=(x+y)/(sqrt(x^2 + y^2))$ e $\Sigma = {(x,y,z)\in R^3 : 1
Ho fatto così : dal dominio si definisce una funzione $g(x,y) : D-> R $ con $D={(x,y)\in R^2 : 1
E posso parametrizzare una curva nel seguente modo : $\sigma(u,v)=(u,v,sqrt(u^2 + v^2))$. Calcolo il modulo del prodotto vettoriale tra $\sigma u=(1,0,(2u)/(u^2 + v^2))$ e $\sigma v=(0,1,(2v)/(u^2 + v^2))$ e ottengo $| \sigma u \wedge \sigma v |=sqrt5$.
Quindi devo calcolare l'integrale $ sqrt5 int_D (u+v)/sqrt(u^2 + v^2)dudv$ QUI C'E' IL MIO PROBLEMA :il passaggio in coordinate polari.
Sia $u=\rho cos\theta , v=\rho sen\theta$ il mio problema è trovare gli intervalli di $\rho $ e $\theta$.
Per $\rho $non è difficile , infatti sia dal disegno di D sia sostituendo in D , dovrebbe essere $1<\rho<2$. Ma sono in difficoltà con $\theta$. Se sostituisco ottengo $0<\rho cos\theta 0<1 0<1/sqrt3
E poi ?? COme vado avanti ...ogni volta c'è un problema
Calcolare $int_\Sigma fds$ con $f(x,y,z)=(x+y)/(sqrt(x^2 + y^2))$ e $\Sigma = {(x,y,z)\in R^3 : 1
Ho fatto così : dal dominio si definisce una funzione $g(x,y) : D-> R $ con $D={(x,y)\in R^2 : 1
E posso parametrizzare una curva nel seguente modo : $\sigma(u,v)=(u,v,sqrt(u^2 + v^2))$. Calcolo il modulo del prodotto vettoriale tra $\sigma u=(1,0,(2u)/(u^2 + v^2))$ e $\sigma v=(0,1,(2v)/(u^2 + v^2))$ e ottengo $| \sigma u \wedge \sigma v |=sqrt5$.
Quindi devo calcolare l'integrale $ sqrt5 int_D (u+v)/sqrt(u^2 + v^2)dudv$ QUI C'E' IL MIO PROBLEMA :il passaggio in coordinate polari.
Sia $u=\rho cos\theta , v=\rho sen\theta$ il mio problema è trovare gli intervalli di $\rho $ e $\theta$.
Per $\rho $non è difficile , infatti sia dal disegno di D sia sostituendo in D , dovrebbe essere $1<\rho<2$. Ma sono in difficoltà con $\theta$. Se sostituisco ottengo $0<\rho cos\theta
E poi ?? COme vado avanti ...ogni volta c'è un problema
Risposte
Buon giorno previ91, è tanto tempo che non affronto queste esercizi ma mi diverte vedere se ancora riesco a decifrarli, ti espongo le mie considerazioni, controlla se sono convincenti, poi vorrei farti alcune domande, posso?
Allora ho provato a seguire le indicazioni del testo per disegnare una regione sul piano $xy$, mi è venuta una porzione di corona circolare (raggio maggiore $R=2$ eraggio minore $r=1$), frontiera esclusa, la disuguaglianza è stretta, compresa tra la semiasse x negativo e una semiretta uscente dall'origine inclinata di $60°=pi/3$ rispetto al semiasse x positivo, cioè con coefficiente angolare $sqrt3$
ne deduco $1
Allora ho provato a seguire le indicazioni del testo per disegnare una regione sul piano $xy$, mi è venuta una porzione di corona circolare (raggio maggiore $R=2$ eraggio minore $r=1$), frontiera esclusa, la disuguaglianza è stretta, compresa tra la semiasse x negativo e una semiretta uscente dall'origine inclinata di $60°=pi/3$ rispetto al semiasse x positivo, cioè con coefficiente angolare $sqrt3$
ne deduco $1
Ciao , per prima cosa grazie per le risposte sempre gentili e precise !!
Mi avevi già risposto su un argomento simile ; in questo caso anche a me risulta una porzione di corona circolare con bordo escluso e come ho scritto si vede bene che $\rho $ varia tra 1 e 2. Mentre per $\theta $ se mi fai riflettere attraverso il disegno si hai ragione , è proprio così ! Mi sa che devo capirlo graficamente perchè se io inizio ad impostare disequazioni goniometriche dopo mi perdo !!
PS. Chiedi pure , sono sempre online in questi giorni
Mi avevi già risposto su un argomento simile ; in questo caso anche a me risulta una porzione di corona circolare con bordo escluso e come ho scritto si vede bene che $\rho $ varia tra 1 e 2. Mentre per $\theta $ se mi fai riflettere attraverso il disegno si hai ragione , è proprio così ! Mi sa che devo capirlo graficamente perchè se io inizio ad impostare disequazioni goniometriche dopo mi perdo !!
PS. Chiedi pure , sono sempre online in questi giorni
Grazie per la disponibilità previ,
veniamo al dunque: non capisco questa scrittura
allora se scrivi $f(x,y,z)$ vuol dire che per stabilire il valore della funzione ho bisogno di assegnare 3 valori, uno per ciascuna variabile; uno per x, uno per y, uno per z, mentre se scrivi $f(x,y)=(x+y)/(sqrt(x^2+y^2))$, ne bastano solo due di valori (il terzo, z, dipende dai primi due x e y) e la funzione si può rappresentare come una superficie nello spazio $xyz$
Se c'è qualcosa di sbagliato nella tua scrittura lo puoi correggere?
Io non sono una cima, se non scrivi con precisione non capisco!
veniamo al dunque: non capisco questa scrittura
"previ91":
$f(x,y,z)=(x+y)/(sqrt(x^2 + y^2))$
allora se scrivi $f(x,y,z)$ vuol dire che per stabilire il valore della funzione ho bisogno di assegnare 3 valori, uno per ciascuna variabile; uno per x, uno per y, uno per z, mentre se scrivi $f(x,y)=(x+y)/(sqrt(x^2+y^2))$, ne bastano solo due di valori (il terzo, z, dipende dai primi due x e y) e la funzione si può rappresentare come una superficie nello spazio $xyz$
Se c'è qualcosa di sbagliato nella tua scrittura lo puoi correggere?
Io non sono una cima, se non scrivi con precisione non capisco!
Credo tu abbia ragione , ma io ho ricopiato il testo da una "prova d'esame fac-simile" quindi probabilmente ha sbagliato il prof e io non mi sono accorto come un pollo
Questo è il link guarda , (esercizio 3) http://www.unibg.it/dati/corsi/23033/53 ... rmedia.pdf
Questo è il link guarda , (esercizio 3) http://www.unibg.it/dati/corsi/23033/53 ... rmedia.pdf
Ho visto, lungi da me conestare un prof, le sviste capitano a tutti, ma te l'ho detto non sono una cima e vorrei una conferma autorevole.
Ad ogni modo noi dobbiamo calcolare l'area della superficie che sta sopra il pezzo di corona circolare?
Ad ogni modo noi dobbiamo calcolare l'area della superficie che sta sopra il pezzo di corona circolare?
Esatto , credo che sia questo lo scopo dell'esercizio. Ho disegnato al computer il dominio in tre dimensioni ed è l'intersezione tra due cilindri (che nel piano formano la corona circolare). I due piani che contengono x (nel piano le rette) e il paraboloide verso positivo lungo lasse z.
Comunque scusa ma non mi sembra che non se una cima anzi !!!
Comunque scusa ma non mi sembra che non se una cima anzi !!!
"previ91":
Comunque scusa ma non mi sembra che non se una cima anzi !!!
mmm non ti fidare, l'esercizio non mi è ancora totalmente chiaro: ho ancora dei dubbi su quale sia $Sigma$ la superficie di cui vogliamo calcolare l'area. Spero che intervenga qualcuno più preparato di me.
Sono d'accordo che la scrittura $z=sqrt(x^2+y^2)$ descriva un paraboloide con vertice nell'origine, se lo intersechiamo con i nostri due cilindri e il nostro angolo diedro formato dai piai $xz$ e $x=sqrt3y$ cosa otteniamo? A me sembra di vedere un "tappo" sopra i due cilindri che è una porzione della superficie del nostro paraboloide (passiamo da quota z=1 a quota z=2) se lo tagliamo con piani passanti per z otteniamo delle parabole, se tagliamo con piani perpendicolaria z otteniamo archi di circonferenza i cui raggi sono compresi tra 1 e 2, mi manca la base inferiore per chiudere il tutto, ma forse sono completamente fuori strada. Ci rifletto ancora un po'.
Una osservazione: rivedendo il testo del prof ho notato che le disuguaglianze non sono strette, dunque le frontiere sono incluse.
Grazie mille !!
Intanto ho riprovato a farlo e mi sono tornati dei dubbi su $\theta$ ma non voglio riconfondere le idee ancora !
Ho scritto una mail al prof che solitamente risponde velocemente e appena ne so di più ti faccio sapere
Intanto ho riprovato a farlo e mi sono tornati dei dubbi su $\theta$ ma non voglio riconfondere le idee ancora !
Ho scritto una mail al prof che solitamente risponde velocemente e appena ne so di più ti faccio sapere
Grazie a questo punto sono molto curiosa! Dagli errori che ho fatto nello svolgere questo esercizio posso imparare molto.
Ciao a tutti , avevo già postato questo integrale per dei dubbi e molti avevano già provato a risolverlo. In attesa della mail del mio professore ho provato a risolverlo tutto , ditemi cosa ne pensate.
Calcolare $int_\Sigma fds$ con $f(x,y,z)=(x+y)/sqrt(x^2 + y^2)$ e $\Sigma={(x,y,z)\in R^3 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , 0<= x <= sqrt3 y , z=sqrt(x^2 + y^2)}$.
Io ho ragionato così :
La superficie $\Sigma$ è il grafico della funzione $g(x,y):K->R$ , $g(x,y)=sqrt(x^2 + y^2)$ con $K={(x,y)\in R^3 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , 0<= x <= sqrt3 y}$.
Poi ho cercato di disegnare il dominio K ; qui avevo dei problemi poi nella determinazione dell'angolo $\theta$. Il dominio è una parte di porzione circolare definita nel primo quadrante che si trova tra la retta$ x = sqrt3 y $ e l'asse positivo delle ordinate.
Poi ho parametrizzato la superficie con $\sigma (x,y)=(x,y,sqrt(x^2 + y^2))$ e ho calcolato il versore normale ottenendo $|\sigma x \wedge \sigma y|=sqrt2 sqrt(x^2 + y^2) $ .
Quindi : $int_\Sigma fds = int_K (x+y)/sqrt(x^2 + y^2) sqrt2 sqrt(x^2 + y^2) dxdy = sqrt2 int_K (x+y) dxdy $.
Adesso passo in coordinate polari nel piano : $x=\rho cos\theta$ , $y=\rho sen\theta$ con $\rho \in [1,2]$ e $\theta \in [\pi/6 , \pi/2]$ (se non ho fatto errori col disegno).
Allora l'integrale diventa : $sqrt2 int_(\pi/6)^\(pi/2 )[int_1^2 \rho (cos\theta + sen\theta)d\rho]d\theta =sqrt2 [sen\theta- cos\theta]_(\pi/6)^(\pi/2) [(p^2)/2]_1^2= ...= (3sqrt2)/4 +(3sqrt6)/4 $.
Grazie mille
Calcolare $int_\Sigma fds$ con $f(x,y,z)=(x+y)/sqrt(x^2 + y^2)$ e $\Sigma={(x,y,z)\in R^3 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , 0<= x <= sqrt3 y , z=sqrt(x^2 + y^2)}$.
Io ho ragionato così :
La superficie $\Sigma$ è il grafico della funzione $g(x,y):K->R$ , $g(x,y)=sqrt(x^2 + y^2)$ con $K={(x,y)\in R^3 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , 0<= x <= sqrt3 y}$.
Poi ho cercato di disegnare il dominio K ; qui avevo dei problemi poi nella determinazione dell'angolo $\theta$. Il dominio è una parte di porzione circolare definita nel primo quadrante che si trova tra la retta$ x = sqrt3 y $ e l'asse positivo delle ordinate.
Poi ho parametrizzato la superficie con $\sigma (x,y)=(x,y,sqrt(x^2 + y^2))$ e ho calcolato il versore normale ottenendo $|\sigma x \wedge \sigma y|=sqrt2 sqrt(x^2 + y^2) $ .
Quindi : $int_\Sigma fds = int_K (x+y)/sqrt(x^2 + y^2) sqrt2 sqrt(x^2 + y^2) dxdy = sqrt2 int_K (x+y) dxdy $.
Adesso passo in coordinate polari nel piano : $x=\rho cos\theta$ , $y=\rho sen\theta$ con $\rho \in [1,2]$ e $\theta \in [\pi/6 , \pi/2]$ (se non ho fatto errori col disegno).
Allora l'integrale diventa : $sqrt2 int_(\pi/6)^\(pi/2 )[int_1^2 \rho (cos\theta + sen\theta)d\rho]d\theta =sqrt2 [sen\theta- cos\theta]_(\pi/6)^(\pi/2) [(p^2)/2]_1^2= ...= (3sqrt2)/4 +(3sqrt6)/4 $.
Grazie mille
Meglio utilizzare da subito questa parametrizzazione:
$\{(x=rhocosphi),(y=rhosinphi),(z=rho):} ^^ [1
Devi svolgere il seguente integrale:
$\int_{1}^{2}drho\int_{pi/6}^{pi/2}dphisqrt2rho(cosphi+sinphi)$
Ho eliminato la discussione che hai appena aperto sullo stesso argomento. Il tuo nuovo messaggio è qui sopra.
$\{(x=rhocosphi),(y=rhosinphi),(z=rho):} ^^ [1
Devi svolgere il seguente integrale:
$\int_{1}^{2}drho\int_{pi/6}^{pi/2}dphisqrt2rho(cosphi+sinphi)$
Ho eliminato la discussione che hai appena aperto sullo stesso argomento. Il tuo nuovo messaggio è qui sopra.
Ciao e grazie ,
ma la parametrizzazione che mi consigli la devo usare subito invece di usare $\sigma (x,y) = (x,y,sqrt(x^2 + y^2))$ ?? ; ma così non utilizzo la condizione che mi danno , $z=sqrt(x^2 + y^2)$ e poi vorrei chiederti : come mai l'intervallo di $\phi$ è $[-\pi/2 , \pi/6] $? non riesco a capire il $-\pi/2$
Grazie
ma la parametrizzazione che mi consigli la devo usare subito invece di usare $\sigma (x,y) = (x,y,sqrt(x^2 + y^2))$ ?? ; ma così non utilizzo la condizione che mi danno , $z=sqrt(x^2 + y^2)$ e poi vorrei chiederti : come mai l'intervallo di $\phi$ è $[-\pi/2 , \pi/6] $? non riesco a capire il $-\pi/2$
Grazie
Veramente, $[z=sqrt(x^2 + y^2)=rho]$. Fai un disegno per comprendere le limitazioni su $[phi]$, non è difficile. Ricordati che deve essere $[x>0]$.
Hai ragione per quanto riguarda la parametrizzazione ...non ci avevo pensato ! Però anche la mia poteva andare ? Alla fine sono arrivato allo stesso integrale (intervallo di $\theta$ permettendo che ora proverò a capire con un disegno che se riesco posto )
)
Scusami, avevi ragione. Ho corretto le limitazioni su $[phi]$.
Meno male se no quì stavo andando nel pallone !!! Grazie mille !!
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