Difficoltà con principio di sostituzione
Volevo dimostrare che [tex](3^{\frac{1}{n}}-1)[/tex] è equivalente a [tex]\frac{1}{n}ln3[/tex] e quindi ho provato ad usare il criterio del rapporto per rendermi conto che [tex]lim \frac{(3^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}ln3}=1[/tex] , quindi ho scritto :
[tex]a_{n+1}=\frac{(3^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}ln3}[/tex]
[tex]a_n=\frac{(3^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}ln3}[/tex]
quindi ho costruito il rapporto [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]
[tex]\frac{\frac{(3^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}ln3}}{\frac{(3^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}ln3}}[/tex]
ma mi sono bloccato in
[tex]\frac{3^{\frac{1}{n+1}}-1}{3^{\frac{1}{n}}-1}\frac{n+1}{n}[/tex]
in particolare non so come scrivere il primo fattore.
[tex]a_{n+1}=\frac{(3^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}ln3}[/tex]
[tex]a_n=\frac{(3^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}ln3}[/tex]
quindi ho costruito il rapporto [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]
[tex]\frac{\frac{(3^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}ln3}}{\frac{(3^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}ln3}}[/tex]
ma mi sono bloccato in
[tex]\frac{3^{\frac{1}{n+1}}-1}{3^{\frac{1}{n}}-1}\frac{n+1}{n}[/tex]
in particolare non so come scrivere il primo fattore.
Risposte
E provare a passare dalla variabile discreta alla variabile continua?
$lim_(x -> +oo) (3^(1/x) - 1)/(ln(3)/x) = 1 => lim_(n -> oo) (3^(1/n) - 1)/(ln(3)/n) = 1
Mi sembra semplice.
$lim_(x -> +oo) (3^(1/x) - 1)/(ln(3)/x) = 1 => lim_(n -> oo) (3^(1/n) - 1)/(ln(3)/n) = 1
Mi sembra semplice.
Ah, ecco la strada che dovevo seguire 
Grazie^^
Una domanda: non esistono, così come per i limiti notevoli, delle tabelle riportanti le equivalenze? oppure bisogna volta per volta calcolare il limite e vedere se questo fa 1 ?
EDIT:
Se percaso in una serie, a furia di sostituire infiniti o infinitesimi nel suo termine generale, si arriva ad una costante negativa come ad esempio [tex]\sum -12[/tex] sappiamo che essa non è convergente, ma come facciamo a sapere se è divergente visto che è indipendente da n?
Grazie^^
Una domanda: non esistono, così come per i limiti notevoli, delle tabelle riportanti le equivalenze? oppure bisogna volta per volta calcolare il limite e vedere se questo fa 1 ?
EDIT:
Se percaso in una serie, a furia di sostituire infiniti o infinitesimi nel suo termine generale, si arriva ad una costante negativa come ad esempio [tex]\sum -12[/tex] sappiamo che essa non è convergente, ma come facciamo a sapere se è divergente visto che è indipendente da n?
@Orlok: Stai attento: i criteri di confronto (inclusi i confronti asintotici) funzionano solo su serie a termini positivi (o comunque a segno costante o definitivamente costante). Per queste serie non c'è scelta: o convergono o divergono positivamente (negativamente se a termini negativi).
Ma allora per queste serie a termini negativi quale regola si può utilizzare per capire se convergono o divergono?
Cioè per la serie [tex]\sum -12[/tex] quale strumento potrei utilizzare per provare che diverge (credo che diverge perchè mi è sembrato di sentirlo dal prof.) ?
Cioè per la serie [tex]\sum -12[/tex] quale strumento potrei utilizzare per provare che diverge (credo che diverge perchè mi è sembrato di sentirlo dal prof.) ?
Ti perdi in un bicchiere d'acqua. $sum -12= -12 -12 -12 -...-12-...$. Ti sorprende che sia uguale a $-infty$?
E' vero, mi perdo proprio in un bicchiere d'acqua T_T , avevo la soluzione a portata di mano.
Grazie dell'aiuto
Grazie dell'aiuto
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