Difficoltà con integrale con radice

Saviouz
Salve a tutti! Sto preparando il dannatissimo esame di Analisi Matematica 1, e non riesco proprio a risolvere questo integrale che ho trovato in un vecchio tema d'esame.
$\int_1^2 x^2 * sqrt(x^2 +16) dx$

Cerco prima di calcolare l'integrale indefinito, provo a sostituire $x=4Sh(t)$ e $dx=4Ch(t)$ l'integrale diventa $256\int Sh^2(t) * Ch^2(t) dt$ e dopo lunghi e (per me) complicati calcoli mi accorgo che il risultato mi viene sempre e comunque sbagliato, o semplicemente sostituendo nuovamente la t con la x il risultato non mi viene facilmente calcolabile. Mi aiutate a trovare la strada?

Risposte
lordb
Sfruttiamo la relazione:

$cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 -> cosh^2(t)=1+sinh^2(t)$

Vediamo $sqrt(x^2+16)=sqrt(16*(x^2/16 +1))=4sqrt(x^2/16+1)=4sqrt((x/4)^2+1)$

Poniamo $x/4=sinh(t) -> x=4sinh(t) -> dx=4cosh(t)dt$.

$t=asinh(x/4) -> {(t_1=asinh(1/4)),(t_2=asinh(1/2)):}$

Sostituendo il tutto:

$int_1^2 x^2sqrt(x^2+16)dx = int_1^2 x^2*4sqrt((x/4)^2+1)dx = int_(t_1)^(t_2)16sinh^2(t)*4sqrt(sinh^2(t)+1)*4cosh(t)dt=$
$=256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt$ dove mi sembra che te sei arrivato..


Vediamo, ti dò un aiutino:

$sinh^2(t)*cosh^2(t)=(sinh(t)*cosh(t))^2=(sinh(2t)/2)^2$

Ottieni:

$256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt=256int_(t_1)^(t_2)(sinh(2t)/2)^2dt=64int_(t_1)^(t_2)sinh^2(2t)dt$

Sai continuare ?

Hint:

Mrs92
io mi ritrovo con
$8sinh(4t) - 32t $ e devo fare il calcolo con x da 1 a 2. come mi ricavo i valori in t? oppure come risostituisco x?

lordb
Guarda quali sono i miei estremi di integrazione $t_1$ e $t_2$ e vedi come li ho ricavati...

Mrs92
sì ma come faccio l'arcoseno?

a parte questo mi servirebbe sapere se il risultato è giusto

lordb
Il risultato è : $[8 (-4 t+sinh(4 t))]_(asinh(1/4))^(asinh(1/2))$.....

ciampax
Per prima cosa:

$\sinh^2(2t)={\cosh(4t)-1}/{2}$

per cui $\int\sinh^2(2t)\ dt=1/2(1/4 \sinh(4t)-t)$ e quindi l'integrale mi pare corretto. Ora, quello che sai è che

$\sinh(t_i)=x_i$, e pertanto avendosi

$\sinh(4t)=2\sinh(2t)\cdot\cosh(2t)=4\sinh(t)\cosh(t)\cdot(1+2\sinh^2(t))$

ed essendo pure $\cosh(t)=\sqrt{1+\sinh^2 t}$ e $t=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (espressione analitica del settore seno iperbolico) il calcolo dovrebbe risultare immediato.

@lordb: scusami, ma credo che il poveretto non abbia idea di come si lavori con le funzioni iperboliche e le loro inverse.

Mrs92
esatto, la mia insegnante le ha allegramente snobbate dandole per scontate...

ciampax
"Mrs92":
esatto, la mia insegnante le ha allegramente snobbate dandole per scontate...


Bè, in realtà si tratta di "cazzatine" da prima liceo che uno potrebbe anche mettersi a calcolare da solo, a partire dalla semplice definizione analitica di seno coeseno e tangente iperboliche (che mi auguro tu conosca).

lordb
@ciampax di niente, figurati.

Mrs92
no, non le ho mai fatte. In effetti è strano.

ciampax
Scusa e allora tu perché hai usato questa sostituzione?

Mrs92
perchè ho un'idea vaga delle relazioni e delle formule riguardanti le funzioni iperboliche senza avere alcun supporto teorico.

ciampax
Bé, allora le formule, come dicevo prima, puoi ricavarle da te facendo due conti elementari! :D

Mrs92
ok, grazie.

cercherò di colmare mia lacuna in merito.

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