Difficoltà con integrale con radice
Salve a tutti! Sto preparando il dannatissimo esame di Analisi Matematica 1, e non riesco proprio a risolvere questo integrale che ho trovato in un vecchio tema d'esame.
$\int_1^2 x^2 * sqrt(x^2 +16) dx$
Cerco prima di calcolare l'integrale indefinito, provo a sostituire $x=4Sh(t)$ e $dx=4Ch(t)$ l'integrale diventa $256\int Sh^2(t) * Ch^2(t) dt$ e dopo lunghi e (per me) complicati calcoli mi accorgo che il risultato mi viene sempre e comunque sbagliato, o semplicemente sostituendo nuovamente la t con la x il risultato non mi viene facilmente calcolabile. Mi aiutate a trovare la strada?
$\int_1^2 x^2 * sqrt(x^2 +16) dx$
Cerco prima di calcolare l'integrale indefinito, provo a sostituire $x=4Sh(t)$ e $dx=4Ch(t)$ l'integrale diventa $256\int Sh^2(t) * Ch^2(t) dt$ e dopo lunghi e (per me) complicati calcoli mi accorgo che il risultato mi viene sempre e comunque sbagliato, o semplicemente sostituendo nuovamente la t con la x il risultato non mi viene facilmente calcolabile. Mi aiutate a trovare la strada?
Risposte
Sfruttiamo la relazione:
$cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 -> cosh^2(t)=1+sinh^2(t)$
Vediamo $sqrt(x^2+16)=sqrt(16*(x^2/16 +1))=4sqrt(x^2/16+1)=4sqrt((x/4)^2+1)$
Poniamo $x/4=sinh(t) -> x=4sinh(t) -> dx=4cosh(t)dt$.
$t=asinh(x/4) -> {(t_1=asinh(1/4)),(t_2=asinh(1/2)):}$
Sostituendo il tutto:
$int_1^2 x^2sqrt(x^2+16)dx = int_1^2 x^2*4sqrt((x/4)^2+1)dx = int_(t_1)^(t_2)16sinh^2(t)*4sqrt(sinh^2(t)+1)*4cosh(t)dt=$
$=256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt$ dove mi sembra che te sei arrivato..
Vediamo, ti dò un aiutino:
$sinh^2(t)*cosh^2(t)=(sinh(t)*cosh(t))^2=(sinh(2t)/2)^2$
Ottieni:
$256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt=256int_(t_1)^(t_2)(sinh(2t)/2)^2dt=64int_(t_1)^(t_2)sinh^2(2t)dt$
Sai continuare ?
Hint:
$cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 -> cosh^2(t)=1+sinh^2(t)$
Vediamo $sqrt(x^2+16)=sqrt(16*(x^2/16 +1))=4sqrt(x^2/16+1)=4sqrt((x/4)^2+1)$
Poniamo $x/4=sinh(t) -> x=4sinh(t) -> dx=4cosh(t)dt$.
$t=asinh(x/4) -> {(t_1=asinh(1/4)),(t_2=asinh(1/2)):}$
Sostituendo il tutto:
$int_1^2 x^2sqrt(x^2+16)dx = int_1^2 x^2*4sqrt((x/4)^2+1)dx = int_(t_1)^(t_2)16sinh^2(t)*4sqrt(sinh^2(t)+1)*4cosh(t)dt=$
$=256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt$ dove mi sembra che te sei arrivato..
Vediamo, ti dò un aiutino:
$sinh^2(t)*cosh^2(t)=(sinh(t)*cosh(t))^2=(sinh(2t)/2)^2$
Ottieni:
$256int_(t_1)^(t_2)sinh^2(t)*cosh^2(t)dt=256int_(t_1)^(t_2)(sinh(2t)/2)^2dt=64int_(t_1)^(t_2)sinh^2(2t)dt$
Sai continuare ?
Hint:
io mi ritrovo con
$8sinh(4t) - 32t $ e devo fare il calcolo con x da 1 a 2. come mi ricavo i valori in t? oppure come risostituisco x?
$8sinh(4t) - 32t $ e devo fare il calcolo con x da 1 a 2. come mi ricavo i valori in t? oppure come risostituisco x?
Guarda quali sono i miei estremi di integrazione $t_1$ e $t_2$ e vedi come li ho ricavati...
sì ma come faccio l'arcoseno?
a parte questo mi servirebbe sapere se il risultato è giusto
a parte questo mi servirebbe sapere se il risultato è giusto
Il risultato è : $[8 (-4 t+sinh(4 t))]_(asinh(1/4))^(asinh(1/2))$.....
Per prima cosa:
$\sinh^2(2t)={\cosh(4t)-1}/{2}$
per cui $\int\sinh^2(2t)\ dt=1/2(1/4 \sinh(4t)-t)$ e quindi l'integrale mi pare corretto. Ora, quello che sai è che
$\sinh(t_i)=x_i$, e pertanto avendosi
$\sinh(4t)=2\sinh(2t)\cdot\cosh(2t)=4\sinh(t)\cosh(t)\cdot(1+2\sinh^2(t))$
ed essendo pure $\cosh(t)=\sqrt{1+\sinh^2 t}$ e $t=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (espressione analitica del settore seno iperbolico) il calcolo dovrebbe risultare immediato.
@lordb: scusami, ma credo che il poveretto non abbia idea di come si lavori con le funzioni iperboliche e le loro inverse.
$\sinh^2(2t)={\cosh(4t)-1}/{2}$
per cui $\int\sinh^2(2t)\ dt=1/2(1/4 \sinh(4t)-t)$ e quindi l'integrale mi pare corretto. Ora, quello che sai è che
$\sinh(t_i)=x_i$, e pertanto avendosi
$\sinh(4t)=2\sinh(2t)\cdot\cosh(2t)=4\sinh(t)\cosh(t)\cdot(1+2\sinh^2(t))$
ed essendo pure $\cosh(t)=\sqrt{1+\sinh^2 t}$ e $t=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (espressione analitica del settore seno iperbolico) il calcolo dovrebbe risultare immediato.
@lordb: scusami, ma credo che il poveretto non abbia idea di come si lavori con le funzioni iperboliche e le loro inverse.
esatto, la mia insegnante le ha allegramente snobbate dandole per scontate...
"Mrs92":
esatto, la mia insegnante le ha allegramente snobbate dandole per scontate...
Bè, in realtà si tratta di "cazzatine" da prima liceo che uno potrebbe anche mettersi a calcolare da solo, a partire dalla semplice definizione analitica di seno coeseno e tangente iperboliche (che mi auguro tu conosca).
@ciampax di niente, figurati.
no, non le ho mai fatte. In effetti è strano.
Scusa e allora tu perché hai usato questa sostituzione?
perchè ho un'idea vaga delle relazioni e delle formule riguardanti le funzioni iperboliche senza avere alcun supporto teorico.
Bé, allora le formule, come dicevo prima, puoi ricavarle da te facendo due conti elementari! 
ok, grazie.
cercherò di colmare mia lacuna in merito.
cercherò di colmare mia lacuna in merito.
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