Difficoltà con equazione numeri complessi

[Sk_Anonymous]

ciao, ho difficoltà a trovare le soluzioni in $CC$ della seguente equazione complessa:

$ bar (z) ^5 = -i/(z^2) $

ho pensato di usare la forma trigonometrica (non ho esperienza con quella esponenziale ):

$ bar (z) ^5 = (sqrt2)^5(cos 5theta - i*sin 5theta)$

cerco di calcolare $theta$:
$theta=arctan (y/x) = arctan 1$ oppure posso usare: $ { ( cos theta = 1/sqrt2 ),( sin theta= 1/sqrt2 ):} $

ma come continuare?
spero in qualche suggerimento, grazie

edit: sostituendo all'equazione ottengo:
$(sqrt2)^5(cos5theta-i*sin5theta) + i/(2(cos2theta+i*sin2theta))=0$

[Seneca1]

$ bar (z) ^5 = -i/(z^2) $

$ bar (z) ^5 z^2 = -i $

$ | z |^4 bar (z) ^3 = -i $

Usando la forma esponenziale...

$\rho^4 \rho^3 e^{- i 3 \theta} = - i$

Da qui sai proseguire?

[Sk_Anonymous]

"Seneca":$ bar (z) ^5 = -i/(z^2) $

$ bar (z) ^5 z^2 = -i $

$ | z |^4 bar (z) ^3 = -i $

Usando la forma esponenziale...

$\rho^4 \rho^3 e^{- i 3 \theta} = - i$

Da qui sai proseguire?

credo di no, non arrivo al tuo passaggio

da questa $ | z |^4 bar (z) ^3 = -i $ sostituendo la forma esponenziale ottengo:

$rho*e^(i4theta) * rho*e^(-i3theta)=-1 ->rho^4*e^(itheta) * rho*e^(-i3theta)=-1 $

edit: sommando gli esponenti mi viene: $rho^5*e^(-2itheta)=-1$

[21zuclo]

@ Seneca
ma $|z|^4$ non è uguale (se lo scrivo in forma esponenziale) a $\rho^2$ ?, perchè già $|z|=\rho=sqrt(x^2+y^2)$

Comunque per 12Aquila da qui
$|z|^4\bar{z}^3=-i$

porti tutto in forma esponenziale e ti viene $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$

perchè $-i= e^{-\pi/2}$

quindi da qui $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$ hai
${(\rho^5 =1),(3\theta=-\pi/2+2k\pi):}\rightarrow {(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$ con $k=0,1,2$

[Seneca1]

"21zuclo":@ Seneca
ma $|z|^4$ non è uguale (se lo scrivo in forma esponenziale) a $\rho^2$ ?, perchè già $|z|=\rho=sqrt(x^2+y^2)$

Appunto, l'hai scritto tu: $|z|=\rho -> |z|^4 = \rho^4 $ ...

[Sk_Anonymous]

"21zuclo":Comunque per 12Aquila da qui
$|z|^4\bar{z}^3=-i$

porti tutto in forma esponenziale e ti viene $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$

perchè $-i= e^{-\pi/2}$

quindi da qui $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$ hai
${(\rho^5 =1),(3\theta=-\pi/2+2k\pi):}\rightarrow {(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$ con $k=0,1,2$

grazie per le risposte, ma non riesco ancora a seguirvi , la forma esponenziale ennesima è $barz^n=rho*e^(-i ntheta)$ giusto?

quindi sostituisco ed ottengo: $rho*e^(i 4theta)*rho*e^(-i 3theta)=-i$ da cui $rho^2*e^(i theta)=-i$

usando l'uguaglianza che hai scritto ottengo: ${(\rho^2 =1),(i*theta=-pi/2+2k\pi):}\rightarrow {(\rho=+-1),(\theta=(\pi/2+2k\pi)/(i)):}$

ma ancora non riesco ad ottenere le soluzione dell'equazione, se è così lungo l'esercizio lo salto, non posso dedicargli troppo tempo.

[21zuclo]

"Seneca":[quote="21zuclo"]@ Seneca
ma $|z|^4$ non è uguale (se lo scrivo in forma esponenziale) a $\rho^2$ ?, perchè già $|z|=\rho=sqrt(x^2+y^2)$

Appunto, l'hai scritto tu: $|z|=\rho -> |z|^4 = \rho^4 $ ...[/quote]

ah ok grazie..mi sa che mi stavo confondendo con qualche altro esercizio!..mi è venuto il dubbio, perchè mi erano capitate delle cose così $|z|^2$ che io scrivevo che era uguale a $\rho$, perchè è come se facessi questo $(sqrt(x^2+y^2))^2=x^2+y^2$
e invece qnd lo scrivo cn la $\rho$, è uguale a $\rho^2$, buono a sapersi ..

Comunque per 12Aquila

"12Aquila":[quote="21zuclo"]Comunque per 12Aquila da qui
$|z|^4\bar{z}^3=-i$

porti tutto in forma esponenziale e ti viene $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$

perchè $-i= e^{-\pi/2}$

quindi da qui $\rho^2 p^3 e^{i(3\theta)}= e^{-\pi/2}$ hai
${(\rho^5 =1),(3\theta=-\pi/2+2k\pi):}\rightarrow {(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$ con $k=0,1,2$

grazie per le risposte, ma non riesco ancora a seguirvi , la forma esponenziale ennesima è $barz^n=rho*e^(-i ntheta)$ giusto?

quindi sostituisco ed ottengo: $rho*e^(i 4theta)*rho*e^(-i 3theta)=-i$ da cui $rho^2*e^(i theta)=-i$

usando l'uguaglianza che hai scritto ottengo: ${(\rho^2 =1),(i*theta=-pi/2+2k\pi):}\rightarrow {(\rho=+-1),(\theta=(\pi/2+2k\pi)/(i)):}$

ma ancora non riesco ad ottenere le soluzione dell'equazione, se è così lungo l'esercizio lo salto, non posso dedicargli troppo tempo.[/quote]

chiedo scusa ha ragione Seneca, è $\rho^7=1$ alla fine..perchè risulta $\rho^4 \cdot \rho^3$.va bé tanto il risultato è irrilevante

quando tu arrivi qui ${(\rho^7=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}\rightarrow {(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$ con $k=0,1,2$

qui tu hai avuto $\rho^7=1\rightarrow \rho=1$, che è quello giusto, ma se fosse stato come tu hai scritto $\rho^2=1$, il $\rho$ visto che è una distanza devi sempre prenderlo in valore assoluto!, ossia è sempre positivo

però in conclusione le soluzioni della tua equazione sono queste, con $k=0,1,2$
${(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$, se vuoi esplicitarle, sostituisci i valori di k e ti vengono fuori gli angoli associati!..

[gio73]

"21zuclo":[quote="Seneca"][quote="21zuclo"]@ Seneca
ma $|z|^4$ non è uguale (se lo scrivo in forma esponenziale) a $\rho^2$ ?, perchè già $|z|=\rho=sqrt(x^2+y^2)$

Appunto, l'hai scritto tu: $|z|=\rho -> |z|^4 = \rho^4 $ ...[/quote]

ah ok grazie..mi sa che mi stavo confondendo con qualche altro esercizio!..mi è venuto il dubbio, perchè mi erano capitate delle cose così $|z|^2$ che io scrivevo che era uguale a $\rho$, perchè è come se facessi questo $(sqrt(x^2+y^2))^2=x^2+y^2$
e invece qnd lo scrivo cn la $\rho$, è uguale a $\rho^2$, buono a sapersi
[/quote]
Ciao 21zuclo, io l'ho capita così $|z|$ è il valore assoluto del numero complesso $z$, cioè la sua distanza dall'origine nel piano dei complessi, se scrivo $z=x+iy$ allora per trovare la distanza dall'origine devo fare $|z|=sqrt(x^2+y^2)$ se ivece voglio individuare lo stesso numero complesso con norma $rho$ e argomento $theta$, trovo che l'argomento $theta$ è l'angolo che il segmento che congiunge il punto immagine del mio numero complesso con l'origine, forma col semiasse reale positivo, mentre la norma $rho$ è proprio la lunghezza del segmento che congiunge l'origine col punto immagine del mio numero complesso, quindi $rho=sqrt(x^2+y^2)$ da cui $rho^2=x^2+y^2$.

[Seneca1]

"gio73":Ciao 21zuclo, io l'ho capita così $|z|$ è il valore assoluto del numero complesso $z$, cioè la sua distanza dall'origine nel piano dei complessi

Anche se si usa lo stesso simbolo è meglio non chiamarlo valore assoluto. Il termine giusto è modulo di $z$.

[gio73]

grazie per la precisazione.

[Sk_Anonymous]

"21zuclo":chiedo scusa ha ragione Seneca, è $\rho^7=1$ alla fine..perchè risulta $\rho^4 \cdot \rho^3$.va bé tanto il risultato è irrilevante

quando tu arrivi qui ${(\rho^7=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}\rightarrow {(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$ con $k=0,1,2$

qui tu hai avuto $\rho^7=1\rightarrow \rho=1$, che è quello giusto, ma se fosse stato come tu hai scritto $\rho^2=1$, il $\rho$ visto che è una distanza devi sempre prenderlo in valore assoluto!, ossia è sempre positivo

però in conclusione le soluzioni della tua equazione sono queste, con $k=0,1,2$
${(\rho=1),(\theta=(-\pi/2+2k\pi)/(3)):}$, se vuoi esplicitarle, sostituisci i valori di k e ti vengono fuori gli angoli associati!..

grazie del chiarimento, sorvolando il fatto che sostituendo la forma esponenziale non arrivo al vostro risultato
($rho^4*rho^3*e^(-i 3theta)=-i$ non capisco come vi rimane il $e^(-i 3theta)$ perchè io ho la forma: $rho*e^(i 4theta)*rho*e^(-i 3theta)=-1$)

ho capito il procedimento

[21zuclo]

"gio73":
Ciao 21zuclo, io l'ho capita così $|z|$ è il valore assoluto del numero complesso $z$, cioè la sua distanza dall'origine nel piano dei complessi, se scrivo $z=x+iy$ allora per trovare la distanza dall'origine devo fare $|z|=sqrt(x^2+y^2)$ se ivece voglio individuare lo stesso numero complesso con norma $rho$ e argomento $theta$, trovo che l'argomento $theta$ è l'angolo che il segmento che congiunge il punto immagine del mio numero complesso con l'origine, forma col semiasse reale positivo, mentre la norma $rho$ è proprio la lunghezza del segmento che congiunge l'origine col punto immagine del mio numero complesso, quindi $rho=sqrt(x^2+y^2)$ da cui $rho^2=x^2+y^2$.

Ok ora mi è tutto chiaro! grazie ..mi sa che mi sono confuso con un altro esercizio..va bé chiarito il mio dubbio..