Difficoltà a studiare limite in base ad un parametro $\alpha$
L'esercizio in questione:
Studiare al variare del parametro $\alpha \in \mathbb(R)$ il limite
$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}} - \cosh(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}}{\ln(1+n^(\alpha))}$
Ho cominciato con il porre $\alpha<0$ riscrivendo quindi il limite:
$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}} - \cosh(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}}{\ln(1+\frac{1}{n^(-\alpha)})}$
Ho posto $t=\frac{1}{n}$, ottendo quindi:
$\lim_{t\to\0}\frac{e^{t} - \cosh t - t}{\ln(1+t^(-\alpha))}$
Ora applicando al limite gli sviluppi di
$e^t = 1+t+ \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4)$
$\cosh t = 1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4)$
$\ln(1+t^(-\alpha)) = t^(-alpha) - \frac{t^(-2\alpha)}{2} + \frac{t^(-3\alpha)}{3} - o(t^(-3\alpha))$
Si ha al numeratore:
$e^{t} - \cosh t - t = 1+t+ \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4) - 1 - \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} - o(t^4) -t = \frac{t^3}{3!} + o(t^4) - o(t^4) = \frac{t^3}{3!} + o(t^3)$
(ho pensato che se è $o(t^4)$ è anche $o(t^3)$, è una considerazione sensata?)
ed al denominatore lo sviluppo del logaritmo che ho indicato più sopra. Ora riscrivo tutto il limite:
$\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^3}{3!} + o(t^3)}{t^(-\alpha) - \frac{t^(-2\alpha)}{2} + \frac{t^(-3\alpha)}{3} - o(t^(-3\alpha))}$
Per il principio di sostituzione degli infinitesimi, tolgo gli $o$ piccolo:
$\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^3}{3!}}{t^(-3\alpha)(t^(2\alpha) + \frac{t^(\alpha)}{2} + 1/3)}$
Che però non so come procedere per risolvere per alfa<0.... il procedimento è corretto?
Studiare al variare del parametro $\alpha \in \mathbb(R)$ il limite
$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}} - \cosh(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}}{\ln(1+n^(\alpha))}$
Ho cominciato con il porre $\alpha<0$ riscrivendo quindi il limite:
$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}} - \cosh(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}}{\ln(1+\frac{1}{n^(-\alpha)})}$
Ho posto $t=\frac{1}{n}$, ottendo quindi:
$\lim_{t\to\0}\frac{e^{t} - \cosh t - t}{\ln(1+t^(-\alpha))}$
Ora applicando al limite gli sviluppi di
$e^t = 1+t+ \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4)$
$\cosh t = 1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4)$
$\ln(1+t^(-\alpha)) = t^(-alpha) - \frac{t^(-2\alpha)}{2} + \frac{t^(-3\alpha)}{3} - o(t^(-3\alpha))$
Si ha al numeratore:
$e^{t} - \cosh t - t = 1+t+ \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4) - 1 - \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} - o(t^4) -t = \frac{t^3}{3!} + o(t^4) - o(t^4) = \frac{t^3}{3!} + o(t^3)$
(ho pensato che se è $o(t^4)$ è anche $o(t^3)$, è una considerazione sensata?)
ed al denominatore lo sviluppo del logaritmo che ho indicato più sopra. Ora riscrivo tutto il limite:
$\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^3}{3!} + o(t^3)}{t^(-\alpha) - \frac{t^(-2\alpha)}{2} + \frac{t^(-3\alpha)}{3} - o(t^(-3\alpha))}$
Per il principio di sostituzione degli infinitesimi, tolgo gli $o$ piccolo:
$\lim_{t\to0}\frac{\frac{t^3}{3!}}{t^(-3\alpha)(t^(2\alpha) + \frac{t^(\alpha)}{2} + 1/3)}$
Che però non so come procedere per risolvere per alfa<0.... il procedimento è corretto?
Risposte
Ciao
Fantastico tutto corretto...
Ora l'ultimo passaggio è inutile. Nel penultimo abbiamo scoperto che il limite si comporta come:
$ ~~ \lim_{t\to\0}\(t^3/(3!))/t^-(\alpha) $
Vediamo ora cosa succede al variare di $alpha$. Ovviamente il valore incriminato dell'esponente $alpha$ che potrebbe creare problemi è 3:
a) $alpha < -3 rArr -alpha >3$ quindi il limite tende a $+oo$
b) $alpha = -3 rArr -alpha =3$ quindi il limite tende a ad un valore finito $l =1/(3!)=1/6$
c) $alpha > -3 rArr -alpha <3$ quindi il limite tende a $0$
SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro)
Eventualmente ci risentiamo.
Bye
Fantastico tutto corretto...
Ora l'ultimo passaggio è inutile. Nel penultimo abbiamo scoperto che il limite si comporta come:
$ ~~ \lim_{t\to\0}\(t^3/(3!))/t^-(\alpha) $
Vediamo ora cosa succede al variare di $alpha$. Ovviamente il valore incriminato dell'esponente $alpha$ che potrebbe creare problemi è 3:
a) $alpha < -3 rArr -alpha >3$ quindi il limite tende a $+oo$
b) $alpha = -3 rArr -alpha =3$ quindi il limite tende a ad un valore finito $l =1/(3!)=1/6$
c) $alpha > -3 rArr -alpha <3$ quindi il limite tende a $0$
SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro)
Eventualmente ci risentiamo.
Bye
Sei stato illuminante roba che manco il Budda 
, ti ringrazio davvero!
, ti ringrazio davvero!
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