Differenziazione rispetto al tempo (singolo passaggio)
Ciao ragazzi, oggi vi devo disturbare due volte, ma poi vi lascio in pace promesso 
Ho un'altra difficoltà a capire un passaggio di una formula. Praticamente ho che:
$P=(W/f)l$
il passaggio successivo richiede di estrarre i logaritmi (e qui ci siamo) e poi di differenziare rispetto al tempo, e mi ritrovo la seguente forma:
$((d(logP_t))/(dt))/(P_t)=((d(logW_t))/(dt))/(W_t)-((d(logf_t))/(dt))/(f_t)+((d(logl_t))/(dt))/(l_t)$
quello che non capisco io è da dove saltano fuori i denominatori $P_t,W_t,f_t,l_t$, cosa mi sfugge? Ringrazio chiunque risponderà!
Ho un'altra difficoltà a capire un passaggio di una formula. Praticamente ho che:
$P=(W/f)l$
il passaggio successivo richiede di estrarre i logaritmi (e qui ci siamo) e poi di differenziare rispetto al tempo, e mi ritrovo la seguente forma:
$((d(logP_t))/(dt))/(P_t)=((d(logW_t))/(dt))/(W_t)-((d(logf_t))/(dt))/(f_t)+((d(logl_t))/(dt))/(l_t)$
quello che non capisco io è da dove saltano fuori i denominatori $P_t,W_t,f_t,l_t$, cosa mi sfugge? Ringrazio chiunque risponderà!
Risposte
è la derivata del logaritmo: $ (log x)'=1/x $ da cui i denominatori
Ecco, ma non dovrebbe essere $D(logP_t)= (P'_t)/P_t$? Perché rimane pure il log al numeratore?
probabilmente hanno sbagliato. io avrei scritto $ d(log(P_t))=(P_t')/(P_t)dt $
il problema è che è fondamentale mantenere la forma che ho originariamente riportato sennò il discorso non funziona. Mi ci sto rincretinendo 
Basta provare con le seguenti funzioni:
$\{(x(t)=t),(y(t)=t^2),(z(t)=t^3):} rarr z(t)=x(t)*y(t)$
per rendersi conto che non vale:
$((dlogz(t))/(dt))/(z(t))=((dlogx(t))/(dt))/(x(t))+((dlogy(t))/(dt))/(y(t))$
L'unica possibilità è che le tue funzioni godano di una qualche proprietà. Oppure, per esempio, che valgano $1$ nell'istante in cui ti interessa l'uguaglianza.
$\{(x(t)=t),(y(t)=t^2),(z(t)=t^3):} rarr z(t)=x(t)*y(t)$
per rendersi conto che non vale:
$((dlogz(t))/(dt))/(z(t))=((dlogx(t))/(dt))/(x(t))+((dlogy(t))/(dt))/(y(t))$
L'unica possibilità è che le tue funzioni godano di una qualche proprietà. Oppure, per esempio, che valgano $1$ nell'istante in cui ti interessa l'uguaglianza.
Purtroppo non viene fatta alcuna assunzione sulle funzioni L'unica risposta plausibile che riesco a dare è che, dovendo considerare i tassi di crescita, dopo aver differenziato rispetto al tempo divide il tutto per la variabile così da avere solo tassi di crescita. Ma matematicamente non riesco a spiegarmi come ciò sia possibile, forse prendendo tutti i tassi di crescita l'equazione non cambia?
L'unica risposta plausibile che riesco a dare è che, dovendo considerare i tassi di crescita, dopo aver differenziato rispetto al tempo divide il tutto per la variabile così da avere solo tassi di crescita. Ma matematicamente non riesco a spiegarmi come ciò sia possibile, forse prendendo tutti i tassi di crescita l'equazione non cambia?
Se consideri i tassi di crescita:
$[((dz)/(dt))/z=((dxy)/(dt))/(xy)=((dx)/(dt))/x+((dy)/(dt))/y] rarr [(dlogz(t))/(dt)=(dlogx(t))/(dt)+(dlogy(t))/(dt)]$
Che cosa, esattamente, non funzionerebbe?
$[((dz)/(dt))/z=((dxy)/(dt))/(xy)=((dx)/(dt))/x+((dy)/(dt))/y] rarr [(dlogz(t))/(dt)=(dlogx(t))/(dt)+(dlogy(t))/(dt)]$
"Chiò":
... è fondamentale mantenere la forma che ho originariamente riportato sennò il discorso non funziona ...
Che cosa, esattamente, non funzionerebbe?
Non capisco come si passa da:
$((d(logP_t))/(dt))=((d(logW_t))/(dt))-((d(logf_t))/(dt))+((d(logl_t))/(dt))$
a
$((d(logP_t))/(dt))/(P_t)=((d(logW_t))/(dt))/(W_t)-((d(logf_t))/(dt))/(f_t)+((d(logl_t))/(dt))/(l_t)$
La seconda forma mi serve perché si tratta di tassi di crescita e io devo studiare quest'ultimi...
$((d(logP_t))/(dt))=((d(logW_t))/(dt))-((d(logf_t))/(dt))+((d(logl_t))/(dt))$
a
$((d(logP_t))/(dt))/(P_t)=((d(logW_t))/(dt))/(W_t)-((d(logf_t))/(dt))/(f_t)+((d(logl_t))/(dt))/(l_t)$
La seconda forma mi serve perché si tratta di tassi di crescita e io devo studiare quest'ultimi...
Ti ho già mostrato che quella è clamorosamente falsa. Sempre che non sia tu a imporla, per ricavare le funzioni che la soddisfano.
Perché si tratta della formula del tasso di crescita, es: $((d(logP_t))/(dt))/(P_t)= tasso di crescita di P$, tutto il discorso mi serve per arrivare al tasso di crescita delle singole variabili, per questo poi si divide tutto per la singola variabile; secondo me è pure sbagliato per questo chiedevo lumi qui...
Non è definendo il tasso di crescita con la derivata del logaritmo al numeratore che, in assenza di altre informazioni, quell'uguaglianza risulta vera.
ahimè lo so, infatti non so che pesci pigliare, non ho altre informazioni se non queste due righe di equazioni buttate così...
Che cosa stai leggendo? Queste formule così decontestualizzate non significano niente.
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