Differenziali non esatti
Salve a tutti, mi trovo qui a postare perchè avrei alcuni dubbi riguardo ai differenziali non esatti che vorrei chiarirmi.
Che differenza c'è tra un differenziale esatto, come d(Temperatura), d(Tempo) o d(Spazio) e differenziali non esatti come, ad esempio, delta(Lavoro) o delta(Calore)? Cosa fa si che un differenziale sia esatto o non esatto? Cosa implica, al momento dell'integrazione, la presenza di un differenziale non esatto?
Grazie in anticipo per le eventuali risposte!
Che differenza c'è tra un differenziale esatto, come d(Temperatura), d(Tempo) o d(Spazio) e differenziali non esatti come, ad esempio, delta(Lavoro) o delta(Calore)? Cosa fa si che un differenziale sia esatto o non esatto? Cosa implica, al momento dell'integrazione, la presenza di un differenziale non esatto?
Grazie in anticipo per le eventuali risposte!
Risposte
Da definizione W(x) è una forma differenziale esatta in un dominio A (aperto) se esiste una funzione f(x) tale che:
df(x) = W(x)
ossia in parole povere la mia forma è un EFFETTIVO DIFFERENZIALE di una funzione potenziale.
Importante anche la seguente:
Se io integro la mia forma differenziale esatta lungo un cammino chiuso (circuitazione) otterò 0
(non so se ti ricordi in fisica che la circuitazione del lavoro compiuto da una forza conservativa è = 0)
Il riconoscimento dell'esattezza o meno di una forma differenziale si attua mediante un procendimento "standard" che implica l'uguaglianza delle derivate miste.
La differenza sostanziale che si ha al momento dell'integrazione è che se la tua forma è esatta(e ripeto,ossia il differenziale di una f potenziale)seguendo qualsiasi cammino,dopo aver svolto la mia integrazione,ottengo sempre lo stesso valore.
E' detto veramente male,è solo per dati un'idea sommaria e "spartana" di cosa significhi il tutto,molte persone in questo forum sapranno darti una spiegazione più approfondita e chiara di ciò che ti ho scritto io in due righe.
Se vedo che nessuno partecipa alla conversazione,allora mi riguardo bene l'argomento e provo a spiegartelo in un altra maniera..(anche perchè ora devo studiarmi statistica!)
Ciao.
Marvin
df(x) = W(x)
ossia in parole povere la mia forma è un EFFETTIVO DIFFERENZIALE di una funzione potenziale.
Importante anche la seguente:
Se io integro la mia forma differenziale esatta lungo un cammino chiuso (circuitazione) otterò 0
(non so se ti ricordi in fisica che la circuitazione del lavoro compiuto da una forza conservativa è = 0)
Il riconoscimento dell'esattezza o meno di una forma differenziale si attua mediante un procendimento "standard" che implica l'uguaglianza delle derivate miste.
La differenza sostanziale che si ha al momento dell'integrazione è che se la tua forma è esatta(e ripeto,ossia il differenziale di una f potenziale)seguendo qualsiasi cammino,dopo aver svolto la mia integrazione,ottengo sempre lo stesso valore.
E' detto veramente male,è solo per dati un'idea sommaria e "spartana" di cosa significhi il tutto,molte persone in questo forum sapranno darti una spiegazione più approfondita e chiara di ciò che ti ho scritto io in due righe.
Se vedo che nessuno partecipa alla conversazione,allora mi riguardo bene l'argomento e provo a spiegartelo in un altra maniera..(anche perchè ora devo studiarmi statistica!)
Ciao.
Marvin
Grazie della spiegazione! Ho ancora un paio di dubbi però: la circuitazione di una forza è zero se si tratta di una forza conservativa: devo dedurre che, ad esempio, il differenziale della forza gravitazionale è un differenziale esatto mentre il differenziale della forza di attrito è un differenziale non esatto?
CioDu effettivamente credo di non aver fatto bene a darti l'esempio della circuitazione di una forza conservativa...
al tuo quesito sinceramente non sarei capace di risponderti con grande sicurezza (anche perchè quando si spiegano le cose alle altre persone si capisce quanto è alto il grado di padronanza di un argomento..io pensavo di avere le idee chiarissime mentre in realtà non è così..
Per evitare di conforderti possiamo chiedere a Luca che sicuramente avrà una risposta chiara e giusta...
al tuo quesito sinceramente non sarei capace di risponderti con grande sicurezza (anche perchè quando si spiegano le cose alle altre persone si capisce quanto è alto il grado di padronanza di un argomento..io pensavo di avere le idee chiarissime mentre in realtà non è così..
Per evitare di conforderti possiamo chiedere a Luca che sicuramente avrà una risposta chiara e giusta...
Beh c'è da dire che non è roba elementare, si tratta comunque del programma di Analisi II... in ogni caso grazie di averci provato! Rimarrò qui in attesa del verbo di Luca 
Con pochi passaggi puoi verificare che il rotore della forza gravitazionale, ed in generale di tutti i campi che dipendono da 1/r^2, è nullo, dunque che verifica le condizioni perchè in uno spazio semplicemente connesso il lavoro(e il potenziale) siano differenziali esatti.
Si ma... io ho bisogno di una regola MOLTO più generale! Ad esempio non posso applicare la suddetta regola al calore, questione che sto affrontando con Fisica Tecnica. Come mai il differenziale del calore non è un differenziale esatto? Q (calore) è lo scambio di energia causato dalla differenza di temperatura tra due corpi a contatto, non è possibile definire il rotore di Q! Al massimo si potrebbe definire Q nello spazio semplicemente definendolo come una costante (cioè Q(x, y, z) = Q0) che quindi avrebbe rotore zero e secondo la tua definizione sarebbe un differenziale esatto... cosa che assolutamente non è (secondo il mio testo almeno) quindi temo addirittura che tu abbia sbagliato...
Domanda: come si traduce "differenziale non esatto" in inglese? Perchè con "differenziale non esatto" google ha trovato poco o nulla (motivo per cui sono venuto qui) ma forse se sapessi come si dice in inglese potrei trovare qualche ebook o simili che lo trattano...
Domanda: come si traduce "differenziale non esatto" in inglese? Perchè con "differenziale non esatto" google ha trovato poco o nulla (motivo per cui sono venuto qui) ma forse se sapessi come si dice in inglese potrei trovare qualche ebook o simili che lo trattano...
La regola di Giovanni E' MOLTO GENERALE: nella fisica tecnica il calore non va' pero' considerato come variabile puramente spaziale: il calore vive in uno "spazio delle fasi" in cui le coordinate sono quelle che identificano lo stato fisico del sistema (non la posizione, ma le grandezze tipiche della termodinamica) quindi a rigor di logica si potrebbe usare la regola di Giovanni ma applicandola alle variabili giuste. In pratica pero' questo e' impossibile perche', ad esempio, non e' in generale possibile (o meglio non sono ancora conosciute molte leggi di "moto" dei sistemi termodinamici) individuare la curva che compie un sistema termodinamico quando si trasforma (come invece e' possibile per un sistema meccanico in moto).
Qui' il differenziale non e' esatto perche' non e' possibile conoscere il calore scambiato in una trasformazione "infinitesima" conoscendone il punto di partenza e il punto di arrivo, bisognerebbe conoscere cio' che e' successo nell'intero processo. E' possibile quindi conoscere il calore scambiato solo se si conosce la curva lungo la quale si e' spostato il sistema. Cio' e' possibile solo in pochi casi ideali in cui la curva e' nota: i famosi processi isobarici, isotermici etc... nel caso di modelli ideali (liquido ideale, gas ideale...)
In pratica il fatto che il differenziale non sia esatto traduce e generalizza a livello infinitesimo il concetto di "conservativita'" (che essendo poi macroscopico si identifica con quello infinitesimo solo aggiungendo la famosa condizione sul dominio): puoi facilmente capire quando una grandezza e' un differenziale esatto applicando la definizione liceale di "conservativita'": il differenziale e' esatto se la variazione della grandezza dipende soltanto dal punto iniziale e da quello finale della trasformazione.
PS: per quanto riguarda l'integrazione se hai a che fare con grandezze il cui differenziale E' ESATTO allora non e' necessario integrare (ovvero considerare tutto il percorso del sistema) ma solo gli estremi di partenza e arrivo del processo per determinare quanto sia variata la grandezza considerata.
Qui' il differenziale non e' esatto perche' non e' possibile conoscere il calore scambiato in una trasformazione "infinitesima" conoscendone il punto di partenza e il punto di arrivo, bisognerebbe conoscere cio' che e' successo nell'intero processo. E' possibile quindi conoscere il calore scambiato solo se si conosce la curva lungo la quale si e' spostato il sistema. Cio' e' possibile solo in pochi casi ideali in cui la curva e' nota: i famosi processi isobarici, isotermici etc... nel caso di modelli ideali (liquido ideale, gas ideale...)
In pratica il fatto che il differenziale non sia esatto traduce e generalizza a livello infinitesimo il concetto di "conservativita'" (che essendo poi macroscopico si identifica con quello infinitesimo solo aggiungendo la famosa condizione sul dominio): puoi facilmente capire quando una grandezza e' un differenziale esatto applicando la definizione liceale di "conservativita'": il differenziale e' esatto se la variazione della grandezza dipende soltanto dal punto iniziale e da quello finale della trasformazione.
PS: per quanto riguarda l'integrazione se hai a che fare con grandezze il cui differenziale E' ESATTO allora non e' necessario integrare (ovvero considerare tutto il percorso del sistema) ma solo gli estremi di partenza e arrivo del processo per determinare quanto sia variata la grandezza considerata.
Per CioDu :
Differenziale non esatto si traduce in inglese :
inexact differential .
Guarda qui :
http://mathworld.wolfram.com/InexactDifferential.html
Camillo
Differenziale non esatto si traduce in inglese :
inexact differential .
Guarda qui :
http://mathworld.wolfram.com/InexactDifferential.html
Camillo
Qui spiega bene la differenza tra differenziali esatti e non :
http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/4 ... idiff.html
Camillo
http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/4 ... idiff.html
Camillo
Grazie a tutti voi, ora ho le idee abbastanza chiare! Grazie soprattutto a camillo, l'ultimo link che mi hai dato è stato finalmente illuminante. 
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