DIFFERENZIALI - mi aiutate a capire sto procedendo bene?
Ciao.
Sto cercando di risolvere la seguente equazione differenziale:
$y''-2y'+y=x^2-2x$
$y(0)=-1; y'(0)=1/2$
Come ho proceduto:
Ho calcolato l'omogenea associata e risolto l'integrale generale omogenea.
$x^2-2x+1=0$ $R=x1=x2$
$yg=c1e^x+xc2e^x$ 1
Essendo il termine forzante composto da due elementi ho suddivido il procedimento in due parti considerando prima il termine $x^2$ e poi $2x$.
Quindi ho risolto la prima parte ($x^2$)applicando la formula: $y=ax^2+bx+c$ mi sono ricavata i termini $a b c$ ottenendo la soluzione della prima parte.
prima parte $x^2$
$y=ax^2+bx+c$ 2
$y'=2ax+b$
$y''=2a$
sostituendo
$2a-4ax-2b+ax^2+bx+c=x^2$
ottengo il sistema:
$ax^2=x^2$
$-4ax+bx=0$
$2a-2b+c=0$
ricavando i seguenti valori:
$a=1$; $b=4$; $c=6$
sostituendo nella (2)
$y=x^2+4x+6$
risultato che aggiungo nella (1)
$yg=c1e^x+c2e^x+x^2+4x+6$
Per la seconda parte ($2x$) ottengo
$yp=ax+b$
$ y'=a$; $y''=0$
quindi
$-2a+ax+b=-2x$
$a=-2$; $b=-4$
$yp=-2x-4$
la IGO diventa (semplificando)
$y=c1e^x+xc2e^x+x+2$
Mi calcolo la derivata prima
$y'=c1e^x+c2e^x+xc2e^x+1$
sostituendo i valori delle condizioni iniziali:
$-1=c1+2$ $ rArr $ $c1=-1$
$1/2=c1+c2$ $ rArr $ $c2=3/2$
Infine
$Yp=-1e^x+x3/2e^x+x+2$
Spero di aver inserito tutti i dati correttamente (scusatemi ma sono nuova in questo sito e devo capire ancora bene come funziona l'inserimento dati)- Mi interessa, in modo particolare, sapere se il procedimento che ho adottato è corretto. Se no, capire dove sbaglio. Grazie infinite a tutti in anticipo
Sto cercando di risolvere la seguente equazione differenziale:
$y''-2y'+y=x^2-2x$
$y(0)=-1; y'(0)=1/2$
Come ho proceduto:
Ho calcolato l'omogenea associata e risolto l'integrale generale omogenea.
$x^2-2x+1=0$ $R=x1=x2$
$yg=c1e^x+xc2e^x$ 1
Essendo il termine forzante composto da due elementi ho suddivido il procedimento in due parti considerando prima il termine $x^2$ e poi $2x$.
Quindi ho risolto la prima parte ($x^2$)applicando la formula: $y=ax^2+bx+c$ mi sono ricavata i termini $a b c$ ottenendo la soluzione della prima parte.
prima parte $x^2$
$y=ax^2+bx+c$ 2
$y'=2ax+b$
$y''=2a$
sostituendo
$2a-4ax-2b+ax^2+bx+c=x^2$
ottengo il sistema:
$ax^2=x^2$
$-4ax+bx=0$
$2a-2b+c=0$
ricavando i seguenti valori:
$a=1$; $b=4$; $c=6$
sostituendo nella (2)
$y=x^2+4x+6$
risultato che aggiungo nella (1)
$yg=c1e^x+c2e^x+x^2+4x+6$
Per la seconda parte ($2x$) ottengo
$yp=ax+b$
$ y'=a$; $y''=0$
quindi
$-2a+ax+b=-2x$
$a=-2$; $b=-4$
$yp=-2x-4$
la IGO diventa (semplificando)
$y=c1e^x+xc2e^x+x+2$
Mi calcolo la derivata prima
$y'=c1e^x+c2e^x+xc2e^x+1$
sostituendo i valori delle condizioni iniziali:
$-1=c1+2$ $ rArr $ $c1=-1$
$1/2=c1+c2$ $ rArr $ $c2=3/2$
Infine
$Yp=-1e^x+x3/2e^x+x+2$
Spero di aver inserito tutti i dati correttamente (scusatemi ma sono nuova in questo sito e devo capire ancora bene come funziona l'inserimento dati)- Mi interessa, in modo particolare, sapere se il procedimento che ho adottato è corretto. Se no, capire dove sbaglio. Grazie infinite a tutti in anticipo
Risposte
"mariagiusepi":
Sto cercando di risolvere il seguente differenziale:
y''-2y'+y=x^2-2x
y(0)=-1; y'(0)=1/2
[...]
Sto sbagliando (sicuro)? Dove?
Mi date la soluzione esatta per cortesia?
Inoltre vorrei conferma sul seguente differenziale:
y''-ay'+3y=x
y(0)=4/9; y'(0)=4/3
[...]
Anche in questo caso vi chiedo se ho proceduto correttamente. Grazie
Benvenuto/a.
Sarà molto difficile dirti dove stai sbagliando se non posti qui i tuoi passaggi...
PS: inserisci le formule tra due simboli di dollaro $$$, così possiamo visualizzarle correttamente. Puoi guardare qui.
DEvi risolvere delle equazioni differenziali, non dei differenziali che non so che significato possa avere.
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